Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 7
Es ist etwas unhandlich, die Homologietheorie direkt an den geometrischen
Simplizialkomplexen zu entwickeln (wir werden allerdings später auf
diesen Spezialfall zurückkommen). Der folgende Aufbau bietet mehr Flexibilität.
Definition. Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist ein singuläres n-
Simplex in X eine stetige Abbildung
σ : ∆ n → X .
Wir bezeichnen mit ∆n(X) die Menge der singulären n-Simplizes in X und
mit Cn(X) die freie abelsche Gruppe über ∆n(X), d.h. Elemente von Cn(X)
sind formale Linearkombinationen
�
λσ · σ ,
σ∈∆n(X)
wobei alle λσ ∈ Z und λσ = 0 für alle bis auf endlich viele σ ∈ ∆n(X). Die
Elemente von Cn(X) werden singuläre n-Ketten in X genannt.
Wir definieren für n ≥ 1 den Randoperator
∂n : Cn(X) → Cn−1(X)
auf den singulären n-Simplizes von X durch
n�
∂nσ :=
(−1) i σ| 〈e0,...,êi,...,en〉 .
i=0
Dabei bezeichnet 〈e0, . . . , êi, . . . , en〉 die i-te Seite von ∆n . Diese idenfifizieren
wir mit ∆n−1 vermittels des affinen Homöomorphismus
∆ n−1 → 〈e0, . . . , êi, . . . , en〉
der die j-te Ecke von ∆ n−1 auf ej ∈ R n+1 abbildet, falls j < i und auf ej+1,
falls j ≥ i. Damit ist ∂σ in der Tat eine singuläre (n − 1)-Kette in X. Zur
Bequemlichkeit setzen wir noch ∂0 := 0. Wir erhalten für n ≥ 0
Zn(X) := ker ∂n ⊂ Cn(X) ,
die Gruppe der singulären n-Zykel in X und
Bn(X) := im ∂n+1 ⊂ Cn(X) ,
die Gruppe der singulären n-Ränder in X.
Ganz analog zu vorhin zeigt man die fundamentale Gleichung
∂n−1 ◦ ∂n = 0
für n ≥ 1.
Damit ist Bn(X) eine Untergruppe von Zn(X) für alle n ≥ 0 und wir
können
Hn(X) := Zn(X)/Bn(X)
definieren. Dies ist die n-te singuläre Homologiegruppe von X. Diese Gruppen
sind der zentrale Gegenstand im ersten Teil dieser Vorlesung. Es wird