Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 57
bestehend aus endlich erzeugten abelschen Gruppen. Wir erhalten die Gruppen
der n-Zykeln Zn, der n-Ränder Bn und der n-ten Homologie Hn =
Zn/Bn für alle n. Wir haben damit kurze exakte Sequenzen
0 → Zn → Cn ∂n → Bn−1 → 0
0 → Bn ↩→ Zn → Hn → 0 .
Mit dem eben Gezeigten gilt also rk Cn = rk Zn + rk Bn−1 und rk Zn =
rk Bn + rk Hn. Wir setzen die zweite Gleichung in die erste ein, Multiplizieren
mit (−1) n �
und addieren über n. Die resultierende Gleichung
∞
n=0 (−1)nCn = �∞ n=0 (−1)nHn ist gerade die Behauptung. �
Beispiel. χ(S n ) = 1 + (−1) n , χ(CP n ) = n + 1, χ(RP n ) = 1, falls n gerade
und χ(RP n ) = 0, falls n ungerade.
Es sei g ≥ 1. Die orientierte Fläche vom Geschlecht g, Σg, ist der Quotientenraum
eines regelmäßigen 4g-Ecks im R2 nach Verklebung der Randsegmente
die sich durch die Bezeichungen α1, β1, α −1
, β−1
, β−1
1 1 , α2, β2, . . . , α −1
k k
der Randsegemente ergeben, wenn wir den Rand des 4g-Ecks einmal durchlaufen.
Wir setzen noch Σ0 = S2 . Man kann sich Σg als eine Fläche im R3 mit g Löchern“ vorstellen. Man sieht durch direktes Abzählen der erhalte-
”
nen Zellen: χ(Σg) = 2 − 2g. Insbesondere werden die Flächen Σg durch ihre
Eulercharakteristik unterschieden.
Korollar 7.2 (Eulersche Polyederformel). Es sei P ⊂ R 3 ein konvexes
Polyeder (d.h. die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten im
R 3 ). Es sei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die
Anzahl der Seitenflächen von P . Dann ist e − k + f = 2.
Beweis. Der Rand von P besitzt die Struktur eines CW-Komplexes mit e 0-
Zellen, k 1-Zellen und f 2-Zellen. Da offensichtlich ∂P ≈ S 2 und χ(S 2 ) = 2,
folgt die Behauptung aus Satz 7.1. �
Sind X1 und X2 endliche CW-Komplexe, so besitzt X1 × X2 ebenfalls die
Struktur eines CW-Komplexes. Um dies einzusehen, definieren wir für jedes
Paar von charakteristischen Abbildungen φ1 : D n1 → X1 und φ2 : D n2 → X2
eine Abbildung
ψ : D n1+n2 n1 n2 ≈ D × D φ1×φ2
→ X1 × X2 ,
wobei das Inverse des ersten Homöomorphismus (für n1 �= 0 �= n2) durch
die radiale Streckung auf der konvexen Teilmenge D n1 ×D n2 ⊂ R n1 ×R n2 =
R n1+n2 gegeben ist, vgl. Einführung in die Topologie, Prop. 7.5. Wir definieren
nun das k-Gerüst von X1 × X2 als die Teilmenge
X 0 1 × X k 2 ∪ X 1 1 × X k−1
2 ∪ . . . ∪ X k 1 × X 0 2 ⊂ X1 × X2 .
Mit dieser Setzung entsteht dann (X1 × X2) k+1 aus (X1 × X2) k durch
Anheftung von (k + 1)-Zellen vermittels der Einschränkung aller oben beschriebenen
Abbildungen ψ : Dn1+n2 → X, n1 + n2 = k + 1, auf den Rand