Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 55
Satz 6.4 (Ham-Sandwich-Theorem). Es seien K1, . . . , Kn ⊂ R n Lebesguemessbare
beschränkte Teilmengen. Dann existiert eine Hyperebene H ⊂ R n
(d.h. ein affiner Teilraum der Dimension n − 1), der jede Teilmenge Ki
genau halbiert, d.h. die Anteile von Ki, die auf den beiden Seiten von H
liegen, haben gleiches Maß(für alle 1 ≤ i ≤ n).
Beweis. Wir bezeichnen das Lebesgue-Maßauf R n mit µ und definieren eine
Abbildung f = (f1, . . . , fn) : S n → R n wie folgt: Es sei (u0, . . . , un) ∈ S n ⊂
R n+1 . Falls (u1, . . . , un) �= 0, definieren wir
• H + u := {x ∈ R n | x1u1 + . . . + xnun ≤ u0},
• Hu := {x ∈ R n | x1u1 + . . . + xnun = u0} = ∂H + u .
und setzen
fi(u) := µ(H + u ∩ Ki) .
Weiterhin setzen wir fi(+1, 0, . . . , 0) := µ(Ki) und fi(−1, 0, . . . , 0) := 0. Wir
behaupten, dass f stetig ist. Es sei dazu (uk ) eine Folge von Punkten in Sn mit limk uk = u. Wir müssen zeigen, dass limk fi(uk ) = fi(u) für alle i ∈
{1, . . . , n}. Falls u0 = ±1, so gilt diese Behauptung wegen der Beschränktheit
von Ki. Sei also nun u0 �= ±1, d.h. (u1, . . . , un) �= 0. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit gilt dann auch (uk 1 , . . . , ukn) �= 0 für alle k. Es sei χk die
charakteristische Funktion von H +
uk∩Ki und χ die charakteristische Funktion
von H + u ∩ Ki . Dann gilt für alle x /∈ Hu, dass
lim
k→∞ χk(x) = χ(x)
mit anderen Worten: Die Folge der messbaren Funktionen χk konvergiert
fast überall gegen χ (denn µ(Hu) = 0). Da diese Folge uniform durch eine
L1- Funktion nach oben beschränkt ist (nämlich durch die charakteristische
Funktion von K1 ∪ . . . ∪ Kn) folgt aus dem Satz von der majorisierten
Konvergenz
lim k fi(u k ) = lim k
�
�
χkdµ =
χdµ = fi(u)
und das war zu zeigen.
Nach dem Satz von Borsuk-Ulam existiert ein u ∈ S n mit f(u) = f(−u).
Man überlegt sich leicht, dass u0 �= ±1 (fall µ(Ki) �= 0 für mindestens ein i -
der andere Fall ist ohnehin trivial) und dass die entsprechende Hyperebene
Hu ⊂ R n die im Satz behauptete Eigenschaft hat. �
7. Euler-Charakteristik und Lefschetzscher Fixpunktsatz
Es sei X ein topologischer Raum, n ≥ 0 und Hn(X) sei endlich erzeugt
(falls wir die Koeffizienten nicht notieren, benutzen wir Z als Koeffizienten).
Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn X ein endlicher CW-Komplex
ist. Wir definieren die n-te Bettizahl von X als den Rang rk Hn(X) der
endlich erzeugten abelschen Gruppe Hn(X) (dies ist die Anzahl der Elemente
einer beliebigen Basis der endlich erzeugten freien abelschen Gruppe
Hn(X)/Tor Hn(X) oder auch gleich der Anzahl der Z-Summanden, wenn