Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 9
Definition. Es seien (C∗, ∂∗) und (D∗, ∂∗) Kettenkomplexe. Eine Kettenabbildung
f∗ : C∗ → D∗ ist eine Folge fn : Cn → Dn von Gruppenhomomorphismen,
die mit den Randoperatoren verträglich sind, d.h. fn ◦ ∂n+1 =
∂n+1◦fn+1. Wir erhalten somit induzierte Abbildungen f∗ : Z∗(C) → Z∗(D),
f∗ : B∗(C) → B∗(D) und f∗ : H∗(C) → H∗(D) (die wir alle mit f∗ bezeichnen).
Ein Kettenisomorphismus ist eine Kettenabbildung, die eine inverse
Kettenabbildung besitzt
Wir erinnern: Ist (Ai)i∈I eine Familie (abelscher) Gruppen, so ist die
direkte Summe �
i∈I Ai die Menge der Familien (ai)i∈I, ai ∈ Ai, wobei alle
bis auf endlich viele ai gleich 0 sind, versehen mit der komponentenweisen
Verknüpfung.
Proposition 2.3. Es sei X ein topologischer Raum und π0(X) die Menge
der Wegekomponenten von X. Dann induzieren die Inklusionen C ↩→ X
(für alle C ∈ π0(X)) einen Isomorphismus
�
H∗(C) ∼ = H∗(X) .
C∈π0(X)
Dies liegt daran, das jede singuläre Kette in X kanonisch als Summe
singulärer Ketten in den einzelnen Wegekomponenten geschrieben werden
kann (jedes singuläre Simplex liegt ja ganz in einer Wegekomponente).
Zusammen mit der folgenden Proposition können wir H0 für jeden topologischen
Raum berechnen.
Proposition 2.4. Es sei X ein wegzusammenhängender nichtleerer topologischer
Raum. Dann ist
H0(X) ∼ = Z
und wir können als Erzeuger die Klasse eines beliebigen 0-Simplex ∆ 0 → X
wählen.
Beweis. Wir können jedes singuläre 0-Simplex in X einfach als Punkt in X
auffassen. Da ∂0 = 0 ist also
Z0(X) = { �
λx · x | λx ∈ Z}
x∈X
wobei fast alle λx = 0. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus
ɛ : Z0(X) = C0(X) → Z , � λx · x ↦→ � λx ∈ Z .
Wir behaupten, dass ɛ eine Abbildung
ɛ : H0(X) = Z0(X)/B0(X) → Z
induziert, d.h. dass ɛ| B0(X) = 0. Sei dazu σ : [0, 1] → X ein singuläres
1-Simplex. Dann ist ɛ(∂σ) = ɛ(σ(1) − σ(0)) = 1 − 1 = 0, wie gewünscht.
Zu zeigen bleibt, dass ɛ : H0(X) → Z ein Isomorphismus ist. Da X �= ∅,
ist ɛ surjektiv. Für die Injektivität sei x0 ∈ X beliebig und für alle x ∈ X