Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 27
Definition. Ein Vektorfeld über der n-dimensionalen Sphäre S n ist eine
stetige Abbildung
v : S n → R n+1 ,
so dass v(x) ⊥ x für alle x ∈ S n ⊂ R n+1 .
Satz 4.6. Die Sphäre S n , n ≥ 1, hat genau dann ein nirgends verschwindendes
Vektorfeld, falls n ungerade ist.
Beweis. Siehe Hatcher, S. 135. �
Falls n = 2 ist das der Igelsatz: Einen (zweidimensionalen) Igel kann man
nicht kämmen.
Ist G eine Gruppe und X ein topologischer Raum, so ist eine Gruppenwirkung
von G auf X das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus
G → Homöo(X) von G in die Gruppe der Homöomorphismen von X. Dieses
Datum ist gleichbedeutend mit einer Abbildung
φ : G × X → X ,
so dass für alle g ∈ G die Abbildung φ(g, −) : X → X stetig ist und für
alle x ∈ X und g, h ∈ G φ(gh, x) = φ(g, φ(h, x)) und φ(e, x) = x, falls
e ∈ G das neutrale Element ist. Diese letzte Beschreibung hat den Vorteil,
dass sie sich später leicht auf stetige oder differenzierbare Wirkungen von
topologischen oder Liegruppen anpassen lässt. Die Gruppenwirkung φ heißt
frei, falls φ(g, x) �= x für alle g �= e und x ∈ X.
Satz 4.7. Es sei n gerade und G wirke frei auf S n . Dann ist G = {e} oder
G ∼ = Z/2.
Beweis. Hatcher, S. 135 unten. �