Skript zur Topologie 1 - M10

54 BERNHARD HANKE
erhalten somit eine induzierte Abbildung f : RP n → RP n und die induzierten
Abbildungen f∗ : H∗(S n ) → H∗(S n ) und f ∗ : H∗(RP n ) → H∗(RP n )
bilden obige Transfersequenz in sich ab (d.h. das entstehende Diagramm
ist kommutativ), siehe obige Bemerkung. Da f∗ : H0(S n ) → H0(S n ) offensichtlich
ein Isomorphismus ist, gilt dies mit den drei obigen Tatsachen
per Induktion auch für die Abbildung f ∗ : Hn(RP n ) → Hn(RP n ) und für
f∗ : Hn(S n ) → Hn(S n ). Die letzte Abbildung ist wegen Hn(S n ) = Z/2 also
die Identität und dies wollten wir zeigen.
Den Fall n = 0 beweist man leicht selbst (indem man einen expliziten Repräsentanten
von H0(S 0 ) hinschreibt und auswertet, was bei der Anwendung
von f∗ passiert). �
Satz 6.3 (Borsuk-Ulam). Es sei f : S n → R n stetig. Dann gibt es einen
Punkt x ∈ S n mit f(x) = f(−x).
Beweis. Angenommen, f : S n → R n ist stetig, erfüllt aber nicht die Folgerung
des Satzes. Dann ist die Abbildung
g : S n → S n−1 , x ↦→
f(x) − f(−x)
�f(x) − f(−x)� ,
wohldefiniert, da nach Annahme f(x) �= f(−x) für alle x ∈ S n gilt. Nach
Konstruktion ist die Komposition
S n → S n−1 ↩→ S n , x ↦→ g(x)
ungerade, hat also nach der letzten Proposition ungeraden Grad. Andererseits
faktorisiert diese Abbildung durch S n−1 und hat daher Grad 0 (denn
Hn(S n−1 ) = 0). Widerspruch. �
Der Satz von Borsuk-Ulam hat weitreichende Anwendungen in den verschiedensten
Bereichen der Mathematik, insbesondere auch in der Kombinatorik.
Wir empfehlen zur weiteren Lektüre das schöne Buch von J. Matousek,
Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer-Verlag.