Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 69
stetig (und damit auch folgenstetig) ist, denn jede Teilmenge in E, die
bezüglich der Unterraumtopologie abgeschlossen ist, ist abgeschlossen in
R n (E ⊂ R n ist ja als Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Würfel
bezüglich der Unterraumtopologie abgeschlossen), also auch abgeschlossen
in X, damit auch bezüglich der CW-Topologie auf X und damit auch abgeschlossen
in (E, CW − Topologie).
Wir definieren nun induktiv einen Unterkomplex Z ⊂ X (wobei X mit
der gerade konstruierten CW-Struktur versehen ist) und eine (bzgl. der CW-
Topologie auf Z) stetige Abbildung r : Z → K wie folgt: Z 0 := X 0 und r
bildet x ∈ Z 0 auf einen beliebigen Punkt r(x) ∈ K, ab mit
dist(x, r(x)) = min(y,
x)
y∈K
(man sieht leicht, dass dieses Minimum angenommen wird). Angenommen,
Z k und r : Z k → K sind schon definiert. Eine (k + 1)-Zelle e k+1 ⊂ X k+1
soll nun genau dann in Z k+1 liegen, wenn sich r| ∂e k+1 : ∂e k+1 → K auf
e k+1 fortsetzen lässt (d.h. homotop zu einer konstanten Abbildung ist). In
diesem Fall wählen wir als r| e k+1 so eine Fortsetzung, und zwar eine, deren
Bild in K einen Durchmesser hat, der kleiner ist als zweimal das Infimum der
Durchmesser der Bilder aller möglichen Fortsetzungen. Wir fahren induktiv
fort und setzen Z := Z n .
Wir zeigen nun die folgenden beiden Tatsachen:
• Definieren wir r auf K als die Identität, so erhalten wir eine stetige
Abbildung r : Z ∪K → K (wobei Z ∪K mit der Unterraumtopologie
versehen ist).
• Z ∪ K ist eine Umgebung von K ⊂ R n .
Offensichtlich ist r an jedem Punkt in Z stetig, denn die Unterraumtopologie
von Z stimmt mit der CW-Topologie überein. Es sei nun p ∈ K.
Wir zeigen, dass r in p stetig ist und dass eine Umgebung von p in Z ∪ K
enthalten ist. Sei dazu ɛ > 0 beliebig. Es sei Bɛ ⊂ K der offene Ball um x
mit Radius ɛ (bzgl. der von R n induzierten Metrik). Aufgrund der lokalen
Kontrahierbarkeit gibt es eine Folge von offenen Umgebungen
Bɛ =: Un ⊃ Vn ⊃ Un−1 ⊃ Vn−1 ⊃ . . . ⊃ U0 ⊃ V0
von p in K, so dass jede Inklusion Vi ↩→ Ui homotop zu einer konstanten
Abbildung ist und außerdem 2·diamUi < diamVi+1 für alle 0 ≤ i ≤ n−1. Es
sei η > 0 so klein, dass der offene η-Ball (in K) um p in U0 enthalten ist. Nun
sei W ⊂ X der Unterkomplex bestehend aus denjenigen abgeschlossenen
Zellen, die ganz im η/2-Ball (in R n ) um p enthalten sind. Dann ist r auf
ganz W definiert und bildet jede Zelle in W nach Bɛ ab. Dafür zeigt man
zunächst, dass r(W 0 ) ⊂ V0 und macht Induktion über die Gerüste von W
(unter Ausnutzung der obigen Eigenschaften der Mengen Ui und Vi). Da
W ∪ K eine Umgebung von p in R n ist und p beliebig gewählt war, ist somit
Z ∪ K eine Umgebung von K. Da ɛ beliebig war und W im η/2-Ball um