Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 43
Wir kommen nun zur Berechnung der Homologiegruppen von CW-
Komplexen.
Definition. Es sei (Xi, xi)i∈I eine Familie von punktierten Räumen, d.h.
xi ∈ Xi. Die Einpunktvereinigung der punktierten Räume (Xi, xi) ist definiert
als der Quotient
�
Xi := ˙� Xi/{xi | i ∈ I} .
i
Geometrisch gesehen werden also alle Räume Xi an den Punkten xi miteinander
verklebt.
Im Sommersemester ist uns die Einpunktvereinigung schon einmal in der
Form des Bouquets von Sphären begegnet. Als direkte Folgerung von Proposition
4.1 und der Tatsache, dass reduzierte Homologie das gleiche wie (d.h.
kanonisch isomorph zur) Homologie relativ zu einem (beliebigen) Basispunkt
ist, haben wir
Proposition 5.7. Es sei (Xi, xi)i∈I eine Familie von punktierten Räumen,
so dass alle Paare (Xi, {xi}) gut sind. Dann induzierten die Inklusionen
Xi ↩→ �
i Xi einen Isomorphismus
für alle n ≥ 0.
�
�Hn(Xi) ∼ = � Hn( �
Xi)
i
Direkt aus der Definition von CW-Komplexen folgt
Lemma 5.8. Es sei X ein CW-Komplex. Dann ist X n /X n−1 homöomorph
zur Einpunktvereinigung von Kopien von S n (an einem einmal festegelegten
Basispunkt von S n ), parametrisiert über die n-Zellen von X.
Da (X n , X n−1 ) gute Raumpaare sind, ergibt sich damit, dass
Hi(X n , X n−1 ) gleich 0 ist, falls n �= i und isomorph zur direkten Summe
� Z, falls i = n, wobei die direkte Summe über die Menge der n-Zellen von
X parametrisiert ist. Weiterhin haben wir
Proposition 5.9. • Hk(X n ) = 0, falls k > n. Insbesondere ist
Hk(X) = 0, falls k > dim X.
• Für k < n induziert die Inklusion X n ↩→ X Isomorphismen
Hk(X n ) ∼ = Hk(X).
Beweis. Man betrachtet die lange exakte Sequenz für die Raumpaare
(X n , X n−1 ):
Hk+1(X n , X n−1 ) → Hk(X n−1 ) → Hk(X n ) → Hk(X n , X n−1 )
und beachtet, dass die beiden äußeren Gruppen gleich 0 sind, falls k �=
n, n − 1. Falls k > n, gilt also Hk(X n ) ∼ = Hk(X n−1 ) ∼ = . . . ∼ = Hk(X 0 ) = 0,
denn X 0 ist eine diskrete Menge von Punkten und k > 0. Falls X endlichdimensional
ist, folgt der zweite Teil ganz ähnlich, denn unter den gegebenen
i