Skript zur Topologie 1 - M10

62 BERNHARD HANKE
Proposition 8.4. Es sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann ist M genau dann
orientierbar, falls � M → M eine triviale Überlagerung ist.
Beweis. Orientierungen von M stehen in eineindeutiger Beziehung mit
Schnitten von p : � M → M, d.h. stetigen Abbildungen φ : M → � M mit
p ◦ φ = idM. Eine zweiblättrige Überlagerung ist aber genau dann trivial,
wenn ein Schnitt existiert. �
Ist M zusammenhängend, so beachte man, dass eine zweiblättrige Überlagerung
M ′ → M genau dann trivial ist, falls M ′ aus genau zwei Komponenten
besteht.
Korollar 8.5. Ist M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit und hat
π1(M) keine Untergruppe von Index 2, so ist M orientierbar.
Beweis. Nach Überlagerungstheorie besitzt unter der gemachten Annahme
M keine zusammenhängende zweiblättrige Überlagerung. Insbesondere ist
�M nicht zusammenhängend, somit ist � M → M die triviale Überlagerung
und infolgedessen ist M orientierbar. �