Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 37
Ist X ein ∆-Komplex, so sei C ∆ n (X) die freie abelsche Gruppe, die von
den Abbildungen σα : ∆ n(α) → X erzeugt wird, wobei n(α) = n. Dies ist eine
Untergruppe der singulären n-Ketten Cn(X) und die Einschränkung des
Randopertors ∂ : Cn(X) → Cn−1(X) auf C∆ (X) definiert eine Abbildung
(X). Dies folgt aus dem zweiten Punkt obiger Definiti-
∂ : C∆ n (X) → C∆ n−1
on. Damit wird C∆ ∗ (X) ein Unterkomplex von C∗(X). Wir bezeichnen mit
H∆ ∗ (X) die Homologiegruppen des Kettenkomplexes C∆ ∗ (X).
Allgemeiner sei X ein ∆-Komplex und A ⊂ X ein Teilkomplex (d.h A ist
eine Teilmenge von X und ist selbst ein ∆-Komplex, wobei alle charakteristischen
Abbildungen von A auch charakteristische Abbildungen von X sind).
Wir definieren dann den Kettenkomplex C∆ ∗ (X, A) wie üblich als den Quotientenkomplex
C∆ ∗ (X)/C∆ ∗ (A). Es ist wieder C∆ ∗ (X, A) ein Unterkomplex
von C∗(X, A).
Ist X ein geordneter Simplizialkomplex, dann stimmt C∆ ∗ (X) (mit der induzierten
∆-Komplex-Struktur auf X) mit dem simplizialen Kettenkomplex
überein, wie er im ersten Abschnitt definiert wurde. Insbesondere folgt aus
dem nächsten Satz, dass simpliziale und singuläre Homologie für Simplizialkomplexe
übereinstimmen.
Satz 5.1. Es sei X ein ∆-Komplex und A ⊂ X ein Unterkomplex, möglicherweise
A = ∅. Dann induziert die Inklusion C ∆ ∗ (X, A) ↩→ C∗(X, A) Isomorphismen
von Homologiegruppen.
Als Vorbereitung brauchen wir
Lemma 5.2. Für n ≥ 0 ist die relative singuläre Homologiegruppe
Hi(∆ n , ∂∆ n ) isomorph zu Z für i = n und = 0 sonst. Die Identität
∆ n → ∆ n
aufgefasst als Element in Cn(∆ n , ∂∆ n ) ist ein Zykel und die entsprechende
Homologieklasse erzeugt Hn(∆ n , ∂∆ n ).
Beweis. Alle Aussagen bis auf die letzte sind klar (man beachte (∆ n , ∂∆ n ) ≈
(D n , S n−1 ). Diese wird per Induktion gezeigt, wobei der Fall n = 0 trivial
ist. Angenommen, die Aussage ist für n−1 gezeigt. Es sei Λ ⊂ ∆ n die Vereinigung
von genau n der (n−1)-dimensionalen Seiten von ∆ n (d.h. Λ umfasst
alle bis auf eine (n−1)-dimensionale Seite). Das Raumpaar (∆ n , Λ) hat verschwindende
Homologie (dies ist leicht zu sehen). Daher ist der verbindende
Homomorphismus
φ : Hn(∆ n , ∂∆ n ) → Hn−1(∂∆ n , Λ)
in der langen exakten Sequenz für das Tripel (∆ n , ∂∆ n , Λ) ein Isomorphismus.
Wir betrachten die Inklusion ∆ n−1 ↩→ ∂∆ n als die fehlende Seite in
Λ. Die induzierte Inklusion (∆ n−1 , ∂∆ n−1 ) → (∂∆ n , Λ) induziert einen Isomorphismus
ψ : Hn(∆ n−1 , ∂∆ n−1 ) ∼ = Hn(∂∆ n , Λ)