Skript zur Topologie 1 - M10

52 BERNHARD HANKE
Wir werden nun die Homologie mit Koeffizienten mit dem sogannten
Transferhomomorphismus verbinden, um dann den Satz von Borsuk-Ulam
zu zeigen.
Es sei p : � X → X eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl k (siehe
Skript zur Einführung in die Topologie, Kapitel 13). Wir definieren eine
Abbildung
τ : H∗(X) → H∗( � X)
als die induzierte Abbildung einer Kettenabbildung
τ : C∗(X) → C∗( � X) ,
die wie folgt gegeben ist: Es sei σ : ∆ n → X ein singuläres Simplex. Es
sei x ∈ X das Bild der Ecke e0 ∈ ∆ n und ˜x1, ˜x2, . . . , ˜xk ∈ � X seien die Urbilder
von x unter der Überlagerungsprojektion p : � X → X. Da � X → X
eine Überlagerung und ∆ n einfach zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend
ist, existiert für alle i = 1, . . . , k eine stetige Abbildung
�σi : ∆ n → � X
mit p ◦ �σi = σi und �σi(e0) = ˜xi und diese Abbildung ist durch die letzte
Forderung eindeutig bestimmt (dies folgt aus dem Liftungstheorem, siehe
Skript zur Einführung in die Topologie, Satz 13.11). Wir setzen
τ(σ) :=
k�
�σi ∈ Cn( � X) .
i=1
Die folgenden Eigenschaften sind leicht zu überprüfen:
• τ ist eine Kettenabbildung. (Dies folgt wieder mit der Existenz und
Eindeutigkeit von Liftungen von Abbildungen ∆ m → X zu Abbildungen
∆ m → � X, falls man einen solchen Lift auf e0 ∈ ∆ m festlegt).
• Die Komposition p∗ ◦ τ ist gegeben durch Multiplikation mit k.
• Operiert eine endliche Gruppe G frei auf den Hausdorffräumen X
und Y (die Quotientenabbildungen X → X/G und Y → Y/G auf
die Quotientenräume sind dann Überlagerungen mit Blätterzahl |G|,
denn die Operationen sind eigentlich diskontinuierlich (dies benutzt
die Hausdorffeigenschaft), vgl. Hatcher, Proposition 1.40. und Übung
23 in Sektion 1.3) und ist f : X → Y eine äquivariante (d.h. mit den
Gruppenwirkungen verträgliche) stetige Abbildung, so kommutiert
f ∗
C∗(X/G) −−−−→ � C∗(Y/G)
⏐
⏐
⏐
⏐
τ�
τ�
C∗(X)
f∗
−−−−→ C∗(Y )
Dabei ist f : X/G → Y/G von f induziert.