Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 17
Wir werden den Ausschneidungssatz in der folgenden äquivalenten Formulierung
beweisen: Seien A, B ⊂ X Teilmengen, so dass X = int(A) ∪ int(B).
Dann induziert die Inklusion (A, A ∩ B) ↩→ (X, B) Isomorphismen in Homologie.
Die Äquivalenz zum Ausschneidungssatz sieht man wie folgt: Sind
Teilmengen A, B ⊂ X mit X = int(A) ∪ int(B) gegeben, so können wir den
Ausschneidungssatz mit R := B, U := B − A ⊂ R anwenden und erhalten
die gewünschte Aussage für die Inklusion (A, A ∩ B) → (X, B). Sind
umgekehrt R und U wie im Ausschneidungssatz, so betrachten wir die Teilmengen
A := X − U, B := R von X und wenden an, dass die Inklusion
(A, A ∩ B) → (X, B) Isomorphismen in Homologie induziert.
Topologisch beruht der Ausschneidungssatz auf der Tatsache, dass jede
singuläre Kette in X auf systematische Weise durch eine Kette ersetzt werden
kann (durch Verfeinerung von Simplizes), deren Simplizes entweder ganz
in A oder ganz in B liegen. Dabei ist wichtig, dass X sogar vom Innern von
A und von B überdeckt wird.
Dieser Übergang zu ” feinen Ketten“ kann folgendermaßen formalisiert
werden. Es sei X ein topologischer Raum und U := (Ui)i∈I eine Familie
von Teilmengen von X, so dass X = � int(Ui). Wir definieren C U ∗ (X) als
den U-feinen Unterkomplex von C∗(X) der von singulären Simplizes erzeugt
wird, deren Bild ganz in einem Ui liegen (dabei darf i vom jeweiligen Simplex
abhängen). Dass es sich um einen Unterkomplex handelt, ist klar. Wir
erhalten eine offensichtliche Inklusion von Kettenkomplexen
i : C U ∗ (X) → C∗(X) .
Proposition 3.6 (Verfeinerung von Ketten). Die Kettenabbildung i ist eine
Kettenhomotopieäquivalenz. Insbesondere induziert sie Isomorphismen
von Homologiegruppen. Darüberhinaus existieren ein Homotopieinverses ρ :
C∗(X) → C U ∗ (X) und eine Kettenhomotopie D : C∗(X) → C∗+1(X) von
i ◦ ρ nach id C∗(X) mit den folgenden Eigenschaften:
• ρ ◦ i = id C U ∗ (X).
• Für alle i ∈ I gilt: ρ : C∗(X) → C U ∗ (X) und D : C∗(X) → C∗+1(X)
bilden Ketten, die ganz in Ui liegen, wieder auf Ketten ab, die ganz
in Ui liegen.
Bevor wir diese Proposition zeigen, folgern wir den Ausschneidungssatz:
Es seien A, B Teilmengen von X wie in der alternativen Formulierung des
Ausschneidungssatzes. Wir schreiben C∗(A+B) statt C {A,B}
∗ (X) und wählen
i, ρ und D wie in der Proposition. Wir erhalten induzierte Kettenabbildungen
ρ : C∗(X)/C∗(A) → C∗(A+B)/C∗(A) , i : C∗(A+B)/C∗(A) → C∗(X)/C∗(A)
mit ρ ◦ i = id und i ◦ ρ � id vermöge der induzierten Kettenhomotopie
D : C∗(X)/C∗(A) → C∗+1(X)/C∗+1(A), .
Für die Existenz dieser Abbildungen benutzen wir, dass die (ursprünglichen)
Abbildungen i, ρ und D Simplizes in A wieder auf Simplizes in A abbilden.