Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 21
Die folgende Aussage formalisiert die entscheidende Eigenschaft des Unterteilungsoperators
S.
Proposition 3.10. Die Kettenabbildung S : LC∗(Y ) → LC∗(Y ) ist kettenhomotop
zur Identität.
Beweis. Die Kettenhomotopie T : LCn(Y ) → LCn+1(Y ) wird für n = −1
als Null definiert und durch die Formel
für n ≥ 0. Die Gleichung
T (σ) := bσ(σ − T ∂σ)
∂T + T ∂ = id −S
auf LCn(Y ), n ≥ 0, zeigt man wieder durch Induktion über n mit einer
direkten Rechnung (siehe Hatcher, S. 122 Mitte). An dieser Stelle ist die
Augmentierung nützlich. �
Wir können nun diese Konstruktionen nun auf beliebige singuläre Ketten
ausdehnen. Sei also X ein topologischer Raum und σ : ∆ n → X ein
singuläres Simplex. Wir setzen
S(σ) := σ∗(S(id∆n)) ,
wobei wir id∆ n als lineares Simplex in der konvexen Menge ∆n ⊂ R n+1
auffassen und σ∗ : LCn(∆ n ) ⊂ Cn(∆ n ) → Cn(X) die von σ induzierte
Kettenabbildung ist. Ganz analog definieren wir T : Cn(X) → Cn+1(X) auf
σ ∈ Cn(X) durch
T (σ) := σ∗(T (id∆n)) .
Man zeigt nun durch explizite Rechnungen (vgl. Hatcher, S. 122 unten und
S. 123 oben).
Proposition 3.11. S ist eine Kettenabbildung C∗(X) → C∗(X) und T ist
eine Kettenhomotopie von S zur Identität auf C∗(X).
Um zu beliebig kleinen singulären Simplizes zu gelangen, müssen wir den
Unterteilungsoperator noch iterieren. Mit einer leichten Rechnung (siehe
Hatcher, S. 123, Punkt 4) erhält man:
Proposition 3.12. Es sei m ≥ 0. Dann ist der iterierte Unterteilungsoperator
Sm = S◦S . . .◦S eine Kettenabbildungen C∗(X) → C∗(X) und kettenhomotop
zur Identität. Eine Kettenhomotopie ist durch Dm := �
0≤i