Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 25
induziert. Da das Diagramm kommutiert, ist auch die linke vertikale Abbildung
ein Isomorphismus und das war zu zeigen. �
Ist (X, A) ein gutes Raumpaar, so induziert die lange exakte Homologiesequenz
also eine lange exakte Sequenz
. . . → � Hn(A) → � Hn(X) → � Hn(X/A) → � Hn−1(A) → . . .
wendet man dies auf das Raumpaar (D n , S n−1 ) an und beachtet, dass
D n /S n−1 und S n homöomorph sind (warum?), so erhalten wir per Induktion
über n ≥ 0 das folgende grundlegende Resultat.
Satz 4.2. Es ist
�Hi(S n ) ∼ =
� Z falls i = n
0 falls i �= n
Zur Erinnerung: Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X ein Teilraum,
so heißt A ein Retrakt von X, falls es eine stetige Abbildung (Retraktion)
r : X → A gibt mit r|A = idA.
Satz 4.3. Ist n ≥ 0, so ist S n kein Retrakt von D n+1 .
Beweis. Angenommen r : Dn+1 → Sn ist eine Rektration. Die Inklusion
Sn → Dn+1 werde mit i bezeichnet. Dann gilt also r ◦ i = idSn. Nach
Anwendung des reduzierten Homologiefunktors erhalten wir, dass die Komposition
�Hn(S n ) i∗ → � Hn(D n+1 ) r∗ → � Hn(S n ) .
mit der Identität auf � Hn(S n ) übereinstimmt. Setzen wir unsere Berechnungen
ein, erhalten wir also eine Komposition der Form Z → 0 → Z, die mit
idZ übereinstimmt. Dies ist aber nicht möglich. �
Korollar 4.4 (Brouwerscher Fixpunktsatz). Es sei f : D n → D n stetig.
Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein x ∈ D n mit f(x) = x.
Beweis. Angenommen f : D n → D n ist eine fixpunktfreie stetige Abbildung.
Wir konstruieren eine stetige Abbildung r : D n → S n−1 , indem wir für
x ∈ D n den Strahl, der in f(x) beginnt und durch x läuft bis zum Rand von
D n verlängern und den entstehenden Schnittpunkt mit r(x) bezeichnen. Es
ist nicht schwer zu zeigen, dass diese Abbildung stetig ist. Offensichtlich gilt
r| S n−1 = id S n−1, d.h. r ist eine Retraktion von D n auf S n−1 . Dies steht aber
im Widerspruch zum eben bewiesenen Satz. �