Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 65
Beweis. Der Beweis läuft in mehreren Schritten. Für gewisse Details verweisen
wir auf die Argumente in Hatcher, S. 236 f. Wir lassen im folgenden die
Koeffizienten G in unserer Notation weg. Zunächst beobachtet man: Falls
A, B ⊂ M kompakte Teilmengen sind, so dass das Lemma für A, B und A∩B
gilt, dann auch für A∪B. Dazu betrachtet man die (relative) Mayer-Vietoris
Sequenz
0 → Hn(M|A ∪ B) φ → Hn(M|A) ⊕ Hn(M|B) ψ → Hn(M|A ∩ B)
wobei links 0 steht wegen der Annahme, dass das Lemma für A ∩ B gilt.
Wenn wir die Abbildungen in Homologie, die von Inklusionen herkommen,
unterdrücken, ist φ(a) = (a, a) und ψ(x, y) = x − y. Diese Sequenz zeigt
sofort, dass Hi(M|A ∪ B) = 0, falls i > n. Die erste Aussage des Lemmas
(für A ∪ B) zeigt man mit Diagrammjagd.
In einem zweiten Schritt zeigt man, dass es genügt, den Fall M = R n zu
untersuchen. Wir nehmen also an, dieser Fall sei bereits gezeigt. Sei nun wieder
M beliebig. Dann ist jede kompakte Teilmenge A endliche Vereinigung
von kompakten Teilmengen A1, . . . , Am, von denen jede in einer offenen Teilmenge
≈ R n in M enthalten ist. Man macht nun Induktion nach m. Falls
m = 1 (d.h. A = A1 ist in einer offenen Teilmenge ≈ R n enthalten), so
ist die Aussage des Lemmas für dieses A klar, denn nach Ausschneidung
ist dann H∗(M|A) ∼ = H∗(R n |A). Es sei nun das Lemma für alle kompakten
Teilmengen in M gezeigt, die Vereinigung von m − 1 Mengen A1, . . . , Am−1
der obigen Art sind. Ist nun A ⊂ M kompakt und Vereinigung von m Mengen
A1, . . . , Am dieser Art, wenden wir den ersten Schritt des Beweises auf
A1 ∪ . . . ∪ Am−1 und Am an. Diese beiden Kompakta erfüllen das Lemma
nach Voraussetzung. Aber der Schnitt dieser beiden Mengen stimmt mit
(A1 ∩ Am) ∪ . . . ∪ (Am−1 ∩ Am) überein und ist damit wieder Vereinigung
von m − 1 kompakten Teilmengen, von denen jede in einer offenen Umgebung
≈ R n enthalten ist. Wir können also auch auf diesen Schnitt die
Induktionsvoraussetzung anwenden.
Im dritten Schritt zeigen wir das Lemma im Falle M = R n und falls A
Vereinigung endlich vieler kompakter konvexer Mengen ist. Da der Schnitt
je zweier kompakter konvexer Mengen wieder eine solche ist, kann man sich
induktiv, ähnlich wie vorher, auf den Fall beschränken, dass A ⊂ R n eine
kompakte konvexe Teilmenge ist. Dafür kann man aber das Lemma durch
eine direkte Rechnung beweisen, denn dann ist die Restriktionssabbildung
Hi(M|A) → Hi(M|x) für alle x ∈ A und alle i ≥ 0 ein Isomorphismus (dies
folgt aus der Konvexität von A). Dies liefert den zweiten Teil des Lemmas.
Für den ersten Teil findet man mit dem eben Gesagten für ein festes x ∈ A
genau eine Klasse αA ∈ Hn(M|A), deren Einschränkung in Hn(M|x) mit
µx übereinstimmt. Aus der lokalen Konsistenz von µ folgt nun, dass die
Einschänkungen von αA mit µy für alle y ∈ A übereinstimmt.
Es sei nun A ⊂ R n eine beliebige kompakte Teilmenge. Man zeigt das
Lemma durch Betrachtung expliziter singulärer Ketten. Es sei α ∈ Hi(R n |A)