Skript zur Topologie 1 - M10

definieren.
TOPOLOGIE I 67
Definition. Ein topologischer Raum X heißt lokal zusammenziehbar, falls
für jeden Punkt x ∈ X folgendes gilt: Ist U eine Umgebung von x, so existiert
eine weitere Umgebung V ⊂ X von x mit V ⊂ U und so dass die Inklusion
V ↩→ U homotop zu einer konstanten Abbildung ist.
Es ist nicht schwer zu zeigen, dass topologische Mannigfaltigkeiten lokal
zusammenziehbar sind.
Satz 8.12. Es sei K ⊂ R n eine lokal zusammenziehbare abgeschlossene Teilmenge.
Dann gibt es eine Umgebung U ⊂ R n von K, so dass die Inklusion
K ↩→ U ein Retrakt ist (d.h es existiert eine stetige Abbildung r : U → K
mit r|K = idK).
Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes: Ist K ⊂ R n eine (nicht unbedingt
abgeschlossene Teilmenge) und Retrakt einer Umgebung in R n , so ist
K lokal zusammenziehbar. Diese Umkehrung werden wir aber nicht beweisen,
sondern verweisen dazu auf Hatcher, S. 526 unten f.
Wir nennen einen topologischen Raum X einen Euklidischen Umgebungsretrakt,
falls folgendes gilt: Es existiert eine topologische Einbettung
X ↩→ R n in einen Euklidischen Raum und für jede solche Einbettung ist
das Bild Retrakt einer Umgebung in R n . Zusammen mit der Einbettbarkeit
kompakter Mannigfaltigkeiten in Euklidische Räume (siehe Übungsblatt 12)
haben wir also:
Korollar 8.13. Kompakte topologische Mannigfaltigkeiten sind Euklidische
Umgebungsretrakte.
Beweis von Satz 8.11: Es sei M ⊂ R n eine kompakte Mannigfaltigkeit.
Es sei U ⊂ R n eine Umgebung von M, so dass eine Retraktion r : U → M
existiert. Da M kompakt ist, existiert ein k > 0 mit der folgenden Eigenschaft:
Es sei W ⊂ R n ein n-dimensionaler Würfel mit Seitenlänge 1/2 k und
Eckenkoordinaten von der Form z/2 k , z ∈ Z. Falls dann W ∩ M �= ∅, so gilt
W ⊂ U. Wir wählen ein solches k und betrachten die Vereinigung V aller
1/2 k Würfel im R n , die M berühren. Nach Wahl von k ist M ⊂ V . Da M
kompakt ist, ist W ein endlicher CW-Komplex und hat somit endlich erzeuge
Homologiegruppen. Die Einschränkung r|V : V → M ist ebenfalls eine
Retraktion. Wir können also M als Retrakt eines endlichen CW-Komplexes
schreiben. Durch Anwenden der Funktorialität des Homologiefunktors sieht
man, dass r∗ : H∗(V ) → H∗(M) surjektiv ist (mit beliebigen Koeffizienten).
Somit hat M endlich erzeuge Homologiegruppen.
Bevor wir Theorem 8.12 beweisen, noch eine Bemerkung zur Fortsetzung
von stetigen Abbildungen auf CW-Komplexen.
Proposition 8.14. Es sei X ein CW-Komplex und Y ein topologischer
Raum. Es sei f : X n−1 → Y eine stetige Abbildung. Dann sind äquivalent:
• f lässt sich zu einer stetigen Abbildung X n → Y fortsetzen.