Skript zur Topologie 1 - M10

64 BERNHARD HANKE
Dieses Lemma impliziert Satz 8.6 wie folgt: Ist M zusammenhängend,
kompakt, µ eine (klassische) Orientierung von M und x ∈ M, so folgt aus
dem ersten Teil des Lemmas (mit A = M), dass die Restriktionsabbildung
Ψ : Hn(M; Z) → Hn(M|x; Z)
surjektiv und injektiv ist: Es sei α ∈ Hn(M; Z) das eindeutig bestimmte
Element, dessen Restriktion auf y mit µy übereinstimmt für alle y ∈ M. Da
µx ∈ Hn(M|x; Z) ∼ = Z ein Erzeuger ist, folgt daraus direkt die Surjektivität
von Ψ. Für die Injektivitiät sei c ∈ ker Ψ. Man zeigt nun mittels des Wegzusammenhangs
von M, dass die Einschränkung von c in Hn(M|y; Z) gleich
0 ist für alle y ∈ M (überdecke dazu einen Weg von x nach y durch kleine
offene Kugeln in M). Nach der Eindeutigkeit von α gilt also α = α + c und
somit c = 0.
Um den zweiten Teil von Satz 8.6 zu zeigen, sei c �= 0 ∈ Hn(M; Z). Offensichtlich
definieren die Einschränkungen von c auf Hn(M|x; Z), x ∈ M,
eine verallgemeinerte Z-Orientierung von M. Nach Proposition 8.7 genügt
es zu zeigen, dass es ein p ∈ M gibt, so dass die Einschränkung von c
auf Hn(M|p; Z) ungleich 0 ist. Wäre dies aber nicht der Fall, so würde
aus der EindeutigkeitsAussage des Lemmas (mit der verallgemeinerten Z-
Orientierung x ↦→ 0 ∈ Hn(M|x; Z) für alle x ∈ M) folgen, dass c = 0, im
Widerspruch zur Annahme.
Der dritte Teil des Satzes folgt aus dem Lemma und der Beobachtung,
dass die Abbildung, die x ∈ M auf das eindeutige von 0 verschiedene
Element µx ∈ Hn(M|x; Z/2) ∼ = Z/2 abbildet, eine verallgemeinerte Z/2-
Orientierung von M definiert (die lokale Konsistenz ist leicht zu zeigen).
Man kann dann nämlich ähnlich zu vorhin zeigen, dass für alle x ∈ M die
Restriktionssabbildung Hn(M; Z/2) → Hn(M|x; Z/2) ∼ = Z/2 ein Isomorphismus
ist.
Der vierte Teil des Satzes folgt direkt aus dem Lemma (mit A := M).