Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 35
Proposition 4.15. Es sei φ : S n−1 → S n eine topologische Einbettung.
Dann besteht das Komplement S n − φ(S n−1 ) aus genau zwei Komponenten.
Weiterhin stimmt der Rand jeder dieser Komponenten mit im φ überein.
Als Anwendung des verallgemeinerten Jordanschen Kurvensatzes zeigen
wir die Invarianz des Gebietes.
Satz 4.16. Es sei U ⊂ R n offen und es sei φ : U → R n eine stetige Abbildung,
so dass die induzierte Abbildung φ : U → φ(U) ein Homöomorphismus
ist. Dann ist φ(U) ⊂ R n offen. Mit anderen Worten: Ist eine Teilmenge
X ⊂ R n homöomorph zu einer offenen Teilmenge im R n , so ist X selbst
offen in R n .
Beweis. Damit wir uns besser auf Theorem 4.11 beziehen können, fassen
wir X als Teilmenge von S n = (R n ) + auf. Es sei φ : U → X
ein Homöomorphismus, wobei U ⊂ R n offen ist. Es sei x ∈ X beliebig.
Wir wählen einen kleinen abgeschlossenen Ball Bɛ(φ −1 (x)) um φ −1 (x)
(mit ɛ > 0), der ganz in U enthalten ist (U ist ja offen in R n ). Wir erhalten
somit Teilmengen D := φ(Bɛ(φ −1 (x))), homöomorph zu D n und
S := φ(∂Bɛ(φ −1 (x))), homöomorph zu S n−1 . Zusammen mit Theorem 4.11,
i. ist also S n − D offen und wegzusammenhängend und S n − S ist offen und
besteht aus genau zwei Wegekomponenten. Da D−S als Bild des wegzusammenhängenden
Raumes Bɛ(φ −1 (x)) auch wegzusammenhängend ist, müssen
die beiden Wegekomponenten von S n − S die Mengen S n − D und D − S
sein. Da S n − S lokal wegzusammenhängend ist, sind die Wegekomponenten
offene Mengen von S n −S und damit auch offen in S n (denn S n −S ist offen
in S n ). Insbesondere ist D − S offen in S n und damit eine offene Umgebung
von x in S n , die ganz in X enthalten ist. �
5. ∆-Komplexe, CW-Komplexe und ihre Homologie
Wir werden in diesem Abschnitt Verallgemeinerungen von Simplizialkomplexen
kennenlernen und ihre Homologie berechnen. Wir bezeichnen
wie üblich mit ∆ n das Standard-n-Simplex und mit int(∆ n ) sein Inneres,
d.h. ∆ n − ∂∆ n , wobei ∂∆ n der Rand von ∆ n ist (d.h. die Vereinigung der
höchstens (n − 1)-dimensionalen Seiten).
Definition. Ein ∆-Komplex ist ein topologischer Raum X zusammen mit
einer Familie (σα)α∈I von stetigen Abbildungen (genannt charakteristische
Abbildungen) σα : ∆ n(α) → X so dass die folgenden Bedingungen erfüllt
sind:
• Die Restriktion σα| int∆ n(α) : int∆ n(α) → X ist injektiv und jeder
Punkt in X liegt im Bild ( ” offenes Simplex“) genau einer solchen
Restriktion.
• Ist σα : ∆ n(α) → X eine charakteristische Abbildung und τ ⊂ ∆ n(α)
eine (n(α) − 1)-dimensionale Seite, so ist σα|τ : ∆ n(α)−1 → X wieder