Skript zur Topologie 1 - M10

66 BERNHARD HANKE
repräsentiert durch einen relativen singulären Zykel z. Dann ist ∂z eine Kette
in R n − A, es sei C ⊂ R n − A die Vereinigung der Bilder der singulären
Simplizes in dieser Kette. Da C als Vereinigung endlich vieler kompakter
Teilmengen selbst kompakt ist, hat C positiven Abstand von A. Wir können
daher A durch endlich viele abgeschlossene Kugeln überdecken, die C nicht
treffen. Es sei K die Vereinigung dieser Kugeln. Dann definiert z auch einen
relativen Zykel in Ci(R n |K) und damit ein Element β ∈ Hi(R n |K), das sich
auf α einschränkt. Da K Vereinigung endlich vieler kompakter konvexer
Mengen ist, haben wir Hi(R n |K) = 0 für i > n (siehe den dritten Schnitt),
daher ist β = 0, also auch α = 0. Ist die Einschränkgung von α auf alle
Hn(R n |x) mit x ∈ A gleich 0, dann auch die Einschränkung von β auf alle
Hn(R n |x) mit x ∈ K. Denn jedes x ∈ K liegt in einem abgeschlossenen
Ball B ⊂ R n , der A berührt und damit ist bereits die Einschränkung von
β auf Hn(R n |B) = 0, da - mit einem beliebigen y ∈ B - die Abbildung
Hn(R n |B) → Hn(R n |y) ein Isomorphismus ist. Aus dem dritten Schritt (K
ist ja Vereinigung endlich vieler kompakter konvexer Mengen) folgt nun,
dass β = 0, also auch α = 0. Dies zeigt die Eindeutigkeit im ersten Punkt
des Lemmas. Für die ExistenzAussagen beachten wir, dass A in einer kompakten,
konvexen Teilmenge B ⊂ R n (z.B. ein einer abgeschlossenen Kugel)
enthalten ist. Damit gibt es nach dem dritten Schritt ein α ∈ Hn(R n |B)
mit den richtigen Restriktionen auf Hn(R n |x), x ∈ B. Dieses Element α
schränken wir nun einfach auf Hn(R n |A) ein. �
Korollar 8.9. Es sei M eine zusammenhängende kompakte n-dimensionale
Mannigfaltigkeit. Dann gilt: M ist genau dann orientierbar, falls
Hn(M; Z) �= 0. In diesem Fall gilt Hn(M; Z) ∼ = Z und jeder Erzeuger dieser
Gruppe entspricht auf kanonische Weise einer Orientierung von M.
Falls M orientierbar ist, so nennen wir jeden Erzeuger von Hn(M; Z) ∼ = Z
eine Fundamentalklasse von M. Es existieren dann genau zwei Fundamentalklassen
und diese entsprechen genau den beiden Orientierungen von M.
Proposition 8.10. Es sei M eine nichtkompakte zusammenhängende ndimensionale
Mannigfaltigkeit. Dann gilt Hi(M; G) = 0 für alle i ≥ n und
beliebige Koeffizienten G.
Zum Beweis verweisen wir auf Hatcher, S. 239. Das folgende Resultat ist
ebenfalls grundlegend für die Theorie der Mannigfaltigkeiten:
Satz 8.11. Es sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit. Dann ist für alle i ≥ 0
die Homologie Hi(M; Z) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe (und gleich
0, falls i > dim M).
Insbesondere können wir also für kompakte Mannigfaltigkeiten M die
Eulercharakteristik
χ(M) :=
dim �M
i=0
rk Hi(M; Z)(=
dim �M
i=0
bi)