Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 53
Die von τ induzierte Abbildung τ : H∗(X) → H∗( � X) nennt man Transferhomomorphismus.
Sie ist nicht von einer Abbildung zwischen topologischen
Räumen induziert (die Abbildung p : � X → X und damit die induzierte
Abbildung p∗ von Homologien gehen ja in die andere Richtung). Man sieht
sofort, dass die Tranferabbildung auf genau die gleiche Weise für beliebige
Koeffizientengruppen definiert werden kann.
Ist nun k = 2, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz
0 → C∗(X; Z/2) τ → C∗( � X; Z/2) p∗ → C∗(X; Z/2) → 0 .
Die Injektivität der ersten Abbildung ist klar, die Surjektivität der letzten
Abbildung folgt wieder aus der Liftbarkeit von singulären Simplizes in X.
Liegt eine Kette � λσσ ∈ � X im Kern von p∗, so bedeutet dies genau, dass zu
jedem σ : ∆ n → � X mit λσ �= 0 (also gleich 1, da Z/2 nur zwei Elemente hat)
auch der von σ verschieden Lift σ ′ von p◦σ : ∆ n → X mit dem Koeffizienten
1 versehen ist. Mit anderen Worten: ker p∗ = im τ. Da die Komposition p∗◦τ
Multiplikation mit 2 und damit (wegen Z/2-Koeffizienten) gleich 0 ist, folgt
die Exaktheit der obigen Sequenz. Die induzierte lange exakten Sequenz
. . . Hn(X; Z/2) τ → Hn( � X; Z/2) p∗ → Hn(X; Z/2) → Hn−1(X; Z/2) → . . .
heißt Transfersequenz. Mit ihrer Hilfe zeigen wir nun das folgende Resultat.
Proposition 6.2. Jede ungerade Abbildung f : S n → S n (d.h. f ist stetig
und f(−x) = −x für alle x) hat ungeraden Grad.
Beweis. Wegen Proposition 6.1 reicht es zu zeigen, dass die Abbildung
f∗ : Hn(S n ; Z/2)( ∼ = Z/2) → Hn(S n ; Z/2) die Identität ist (falls der Abbildungsgrad
von f gerade wäre, dann wäre die Multiplikation mit deg f ja
die Nullabbildung auf Z/2). Wir nehmen im folgenden zunächst n ≥ 1 an
und betrachten die Transfersequenz mit Z/2-Koeffizienten für die zweifache
Überlagerung p : S n → RP n :
0 → Hn(RP n ) τ → Hn(S n ) p∗ → Hn(RP n ) → Hn−1(RP n ) τ →
Hn−1(S n ) p∗ → Hn−1(RP n ) → . . . → H0(RP n ) → 0
Die Sequenz beginnt mit 0, da Hn+1(RP n ; Z/2) = 0 (RP n hat ja die Struktur
eines n-dimensionalen CW-Komplexes). Da die Homologie Hi(S n ; Z/2) = 0
für 0 < i < n und alle Einträge in der obigen exakten Sequenz entweder
gleich 0 oder gleich Z/2 sind (dies sieht man schnell mit zellulärer Homologie),
folgt aus der Exaktheit der Sequenz, dass
• Hi(RP n ) ∼ = Hi−1(RP n ), falls 1 ≤ i ≤ n,
• Hn(RP n ) ∼ = Hn(S n ),
• H0(S n ) ∼ = H0(RP n ).
Und diese Isomorphismen sind durch die entsprechenden Abbildungen in
obiger Sequenz gegeben. Mit der antipodalen G := Z/2-Wirkung ist nach
Voraussetzung die gegebenen Abbildung f : S n → S n äquivariant. Wir