Skript zur Topologie 1 - M10

Betrachten des kommutativen Diagramms
�Hn(S n )
⏐
Ψ�
� �Hn(Ui, Ui − {xi})
TOPOLOGIE I 29
f∗
−−−−→ Hn(S � n )
⏐
∼ ⏐
= �
(c1,...,cm)↦→ P
i f∗(ci)
−−−−−−−−−−−−−→ Hn(Sn , Sn − y)
Bei der Definition des Abbildungsgrades ist es auch manchmal sinnvoll,
Punkte x, y ∈ S n , sowie Umgebungen V von y und U von x zu betrachten
mit f(U − {x}) ⊂ V − {y}. Die in der induzierten Abbildungen
f∗ : Hn(U, U − {x}) → Hn(V, V − {y}) auftretenden Homologiegruppen
können dann beide kanonisch mit � Hn(S n ) identifiziert werden. Induziert in
dieser Situation f zusätzlich einen Homöomorphismus U ≈ V , so ist der
lokale Abbildungsgrad von f bei x gleich ±1. Man kann auf diese Weise in
vielen Situationen den Abbildungsgrad von Abbildungen dadurch bestimmen,
dass man ” Urbildpunkte mit Vorzeichen“ zählt. Das richtige Vorzeichen
kann dabei oft durch differentialtopologische Betrachtungen ermittelt
werden.
Man kann die letzte Proposition dazu benutzen, Abbildungen S n → S n
von beliebigem Abbildungsgrad zu konstruieren, falls n ≥ 1, siehe Hatcher,
Example 2.31.
Man sieht leicht (vergleiche Übung Blatt 7, Aufgabe 1, oder auch Hatcher,
Proposition 2.33):
Proposition 4.9. Es sei f : S n → S n eine stetige Abbildung. Dann stimmt
der Abbildungsgrad von f mit dem Abbildungsgrad der Einhängung von f,
Σf : ΣS n → ΣS n überein (nachdem man ΣS n mit S n+1 identifiziert hat).
Dies kann man dazu benutzen, um stetige Abbildungen S n → S n , n ≥ 2,
zu konstruieren, bei denen beliebige vorgegebenen z ∈ Z als lokale Abbildungsgrade
auftreten.
Wir kommen nun zu einer dem Ausschneidungssatz eng verwandten Methode,
Homologiegruppen zu berechnen: Die Mayer-Vietoris-Sequenz. Es sei
X ein topologischer Raum und es seien A, B ⊂ X Unterräume, so dass
X = int(A) ∪ int(B). Die Inklusionen iA : A ∩ B → A, iB : A ∩ B → B,
jA : A → X, jB : B → X, induzieren Kettenabbildungen
und
φ : C∗(A ∩ B) → C∗(A) ⊕ C∗(B) , c ↦→ ((iA)∗(c), (iB)∗(c))
ψ : C∗(A) ⊕ C∗(B) → C∗(A + B) , (x, y) ↦→ (jA)∗(x) − (jB)∗(x) ,
wobei der Komplex der {A, B}-kleinen Simplizes C∗(A + B) im Beweis des
Ausschneidungssatzes vorkam. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz von
Kettenkomplexen
0 → C∗(A ∩ B) φ → C∗(A) ⊕ C∗(B) ψ → C∗(A + B) → 0
�