Skript zur Topologie 1 - M10

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38 BERNHARD HANKE von relativen Homologiegruppen, denn es handelt sich um gute Raumpaare und die induzierte Abbildung ∆ n−1 /∂∆ n−1 → ∂∆ n /Λ ist ein Homöomorphismus. Der Isomorphismus φ schickt den Zykel id∆n auf den Zykel ± id∆n−1 (aufgefasst als die fehlende Seite in Λ) in Cn−1(∂∆n , Λ), der Isomorphismus ψ schickt den Zykel id∆n−1 auf genau den gleichen Zykel (eventuell bis aufs Vorzeichen). Daher folgt die Aussage des Lemmas per Induktion. � Schließlich benötigen wir noch die folgende rein algebraische Aussage. Proposition 5.3. (Fünferlemma). Es sei ein kommutatives Diagramm A −−−−→ B −−−−→ C −−−−→ D −−−−→ E ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ � � γ� � � A ′ −−−−→ B ′ −−−−→ C ′ −−−−→ D ′ −−−−→ E ′ gegeben, wobei die Zeilen exakte Sequenzen abelscher Gruppen sind. Sind von den vertikalen Abbildungen alle bis auf γ Isomorphismen, so ist auch γ ein Isomorphismus. Beweis. Diagrammjagd. �
TOPOLOGIE I 39 Wir zeigen nun Satz 5.1. Es sei zunächst X endlich dimensional und A = ∅. Für k ∈ N sei X k das k-Skelett von X, d.h. die Vereinigung der Bilder von Simplizes der Dimension höchstens k (aufgefasst als Unterkomplex von X). Wir zeigen nun durch Induktion nach k, dass die Abbildungen H ∆ n (X k ) → Hn(X k ) Isomorphismen sind (für alle n). Der Fall k = 0 ist einfach, denn X0 ⊂ X erbt von X die diskrete <strong>Topologie</strong>: Ist Z ⊂ X0 eine Teilmenge, so ist für alle α das Urbild φ−1 α (Z) ⊂ ∆ n(α) α (bestehend aus einer Menge von Ecken) endlich und somit abgeschlossen. Also ist Z eine abgeschlossene Teilmenge in X. Daraus folgt, dass jede Teilmenge von X0 (in der Unterraumtopolologie) offen in X0 ist und das war zu zeigen. Wir nehmen nun an, die Aussage ist für k − 1 gezeigt. Für n ≥ 0 erhalten wir ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen H ∆ n+1 (Xk , X k−1 ) −−−−−→ H ∆ n (Xk−1 ) −−−−−→ H ∆ n (Xk ) −−−−−→ H ∆ n (Xk , X k−1 ) −−−−−→ H ∆ n−1 (Xk−1 ) ? y ? y ? y Hn+1(X k , X k−1 ) −−−−−→ Hn(X k−1 ) −−−−−→ Hn(X k ) −−−−−→ Hn(X k , X k−1 ) −−−−−→ Hn−1(X k−1 ) Wir wollen das Fünferlemma anwenden. Der zweite und letzte senkrechte Pfeil sind Isomorphismen durch Induktion nach k. Wir kümmern uns nun um den ersten und vierten Pfeil. Die Gruppe H ∆ n (X k , X k−1 ) ist = 0, falls k �= n und isomorph <strong>zur</strong> direkten Summe von Kopien von Z parametrisiert über die n-Simplizes σα : ∆ n → X, falls k = n. Dies folgt direkt aus der Definition von H ∆ ∗ . Für die Berechnung der entsprechenden singulären Homologiegruppen betrachten wir die Abbildung ψ : ˙� α,n(α)=k (∆k α, ∂∆ k α) → (X k , X k−1 ) wobei auf dem α-ten Raumpaar die Abbildung σα anzuwenden ist. Diese Abbildung induziert einen Homöomorphismus Ψ : ˙� ∆ k α/ ˙� ∂∆ k α ≈ X k /X k−1 . Dabei ist die Bijektivität und Stetigkeit leicht. Es sind aber Bilder von abgeschlossenen Mengen auch abgeschlossen: Es sei A ⊂ ˙� ∆ k / ˙� ∂∆ k abgeschlossen. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von Ψ(A) in X k abgeschlossen ist, was wir dadurch testen, dass wir die Urbilder unter φα ansehen (für alle charakteristischen Abbildungen der ∆-Komplexstruktur von X k ). Sei zunächst n(α) < k. Ist Ψ(A) ∩ [X k−1 ] �= ∅ so ist dieses Urbild ganz ∆ n(α) α also abgeschlossen. Ist aber Ψ(A) ∩ [X k−1 ] = ∅, so ist dieses Ur- bild leer, also ebenfalls abgeschlossen. Es sei nun n(α) = k. Dann stimmt dieses Urbild genau mit dem Urbild von A unter der stetigen Abbildung ∆ k α ↩→ ˙� n(α)=k ∆k α → ˙� ∆ k α/ ˙� ∂∆ k α überein und ist damit wieder abgeschlossen. Daher induziert ψ einen Isomorphismus von Homologiegruppen (denn es handelt sich um gute Raumpaare). Die Gruppe Hn( ˙� ∆ k ˙� k α, ∂∆α) ? y ? y
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