Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 59
8. Mannigfaltigkeiten und Orientierung
Definition. Eine n-dimensionale (topologische) Mannigfaltigkeit ist ein
Hausdorffraum M, so dass jeder Punkt in M eine offene Umgebung besitzt,
die homöomorph zu R n ist.
Es gibt Räume, die die zuletzt genannte Eigenschaft besitzen, aber nicht
Hausdorff sind. Ein Beispiel ist die Gerade mit zwei Ursprüngen (R × {1} ∪
R × {0})/ ∼, wobei ∼ jeden Punkt (x, 0) mit (x, 1) identifiziert, falls x �= 0
ist.
Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X ein Teilraum, so schreiben wir
H∗(X|A) := H∗(X, X − A). Besteht A nur aus einem Punkt a, so ist dies
die lokale Homologie von X bei a, wie sie schon früher betrachtet wurde.
Ist M eine n-Mannigfaltigkeit, so haben wir � Hi(M|x) = Z, falls i = n und
�Hi(M|x) = 0, falls i �= n. Daher ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit eine
topologische Invariante (d.h. Mannigfaltigkeiten verschiedener Dimension
können nicht homöomorph sein).
Man nimmt bei der Definition von Mannigfaltigkeiten oft noch die Forderung
hinzu, dass der betrachtete Raum das zweite Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt. Dies wird aber erst bei sogenannten Teilungen der Eins wichtig, die
später betrachtet werden.
Beispiel. S n ist eine kompakte Mannigfaltigkeit. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
nach freien Operationen endlicher Gruppen sind Mannigfaltigkeiten.
Dies umfasst die reell-projektiven Räume. Die komplex projektiven
Räume CP n sind ebenfalls kompakte Mannigfaltigkeiten.
Mannigfaltigkeiten sehen also lokal so aus wie R n , ihre globale Gestalt
kann jedoch sehr vielfältig sein.
Wir wollen in diesem Abschnitt klären, was eine globale Orientierung einer
n-Mannigfaltigkeit ist. Man definiert üblicherweise eine Orientierung des R n
als eine geordnete Basis des Vektorraums R n , wobei zwei geordnete Basen
die gleiche Orientierung definieren, falls die Matrix des Basiswechels positive
Determinante hat. Insbesondere gibt es also genau 2 Orientierungen. Ist
A : R n → R n eine invertierbare lineare Abbildung, so nennt man A orientierungserhaltend,
falls det A > 0, sonst orientierungsumkehrend. A bildet
eine orientierte Basis von R n genau dann auf eine gleich orientierte Basis
ab, falls A orientierungserhaltend ist. Lineare Abbildungen operieren aber
nicht nur auf Basen, sondern auch auf lokaler Homologie. Wir können daher
den Begriff der Orientierung auf folgende Weise rein homologisch fassen.
Definition. Ist x ∈ R n , so ist eine lokale Orientierung von R n in x gegeben
durch die Wahl eines Erzeugers von Hn(R n |x) ∼ = Z.
Es gibt also immer genau zwei lokale Orientierungen. Falls x = 0, passt
das sehr gut zur klassischen Definition: Es gibt genau zwei Orientierungen