RePoSS #11: The Mathematics of Niels Henrik Abel: Continuation ...

240 Chapter 12. ABEL’s reading of CAUCHY’s new rigor and the binomial theorem
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−3π −2π −π π 2π 3π
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Figure 12.2: Graphical representation of ABEL’s “Exception”, ∑ ∞ n=1
The series
π 2
− π 2
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(−1) n−1 sin nx
n .
However, it appears to me that this theorem admits [or suffers] exceptions.
For instance, the series
sin φ − 1 1
sin 2φ + sin 3φ − . . . etc.
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is discontinuous for every value (2m + 1) π of x where m is an integer. As is well
known, a multitude of series with similar properties exist.” 35
∞ (−1)
∑
n=1
n−1 sin nx
n
(12.14)
is a particularly simple trigonometric series: it is the Fourier series expansion of the
function f (x) = x 2 on the interval ]−π, π[ (see figure 12.2). As such, it can be found
in FOURIER’S works, for instance in the Théorie analytique de la chaleur, and even as
a side result in one of EULER’S papers. 36 Possibly because EULER’S and FOURIER’S
arguments for the convergence of the series (12.14) might have been wanting from
the perspective of the new rigor, ABEL explicitly derived it as a result of some of the
formulae proved in the binomial paper (see page 259, below).
Aspects of ABEL’S “exception”. For subsequent reference, a few points concerning
ABEL’S “exception” must be brought to attention. First, the exception was one of the
35 “Anmerkung. In der oben angeführten Schrift des Herrn Cauchy (Seite 131) findet man folgende
Lehrsatz:
»Wenn die verschiedenen Glieder der Reihe
u0 + u1 + u2 + u3 + . . . u.s.w.
Functionen einer und derselben veränderlichen Größe sind, und zwar stetige Functionen, in Beziehung
auf diese Veränderliche, in der Nähe eines besonderen Werthes, für welchen die Reihe
convergirt, so ist auch die Summe s der Reihe, in der Nähe jenes besonderen Werthes, eine stetige
Function von x.«
Es scheint mir aber, daß dieser Lehrsatz Ausnahmen leidet. So ist z. B. die Reihe
sin φ − 1 1
sin 2φ + sin 3φ − . . . u.s.w.
2 3
unstetig für jeden Werth (2m + 1) π von x, wo m eine ganze Zahl ist. Bekanntlich giebt es eine
Menge von Reihen mit ähnlichen Eigenschaften.” (N. H. Abel, 1826f, 316, footnote).
36 (Fourier, 1822, 182, 241) and (L. Euler, 1754, 584); see also (I. Grattan-Guinness, 1970b, 84–85).