Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

NORMAS DE UN VECTOR; ARITMETICA VECTORIAL 123
3.2 NORMAS DE UN Vf.CTOR;ARITMETICA VECTORIAL
En esta sección se establecen las reglas básicas de la aritmética vectorial.
Teorema l. Si u , v y w son vectores en el espacio bidimensional o tridimensional. y k Y 1
son escalares. entonces se cumplen las relaciones siguientes:
a) u + v = v + u
b) (u + v) + w = u + (v + w)
c) u + O = O + u = u
d) u + (-u) = O
e) k(lu) = (kl)u
f) k(u + v) = ku + kv
g) (k + l)u = ku + lu
h) 1u = u
Antes de analizar la demostración, observe que se han desarrollado dos enfoques hacia los
vectores: geométrico. en el que los vectores se representan por medio de flechas o segmentos
rectilíneos dirigidos, y analítico. en el que se representan por parejas o temas de números
denominados componentes. Como consecuencia, los resultados del teorema 1 se
pueden establecer geométricamente o analíticamente. Como i1uSiJ ación, se probará el
inciso b) en ambas formas. Las demostraciones restantes se dejan como ejercicios.
Demostración del inciso b) (analítica). Se dará la demostración para vectores en el espacio
tridimensional. La demostración para el espacio bidimensional es semejante. Si
u = (UI. U2. U3), v = (VI . v2• V3) Y W = (WI. W2. W3) , entonces
(u + 'v) + W = [(UI> uz, U3) + (VI> vz, V3 )] + ( W I> wz, W3)
= (UI + VI , Uz + vz, U3 + v3) +,(w l , wz, W3)
= ([u l + VI] + wl , [u z + vz ] + wz, [U3 + V3] + W3)
= (UI + [ VI + wl ] , Uz + [vz + wz], U3 + [V3 + W3])
= (UI> uz, U3) + (VI + wl> Vz + wz, V3 + W3)
= u + (v + w) I
Demostración del inciso b) (geométrica). Supóngase que u, v y W se representan por PO
QR Y RS. como se muestra en la figura 3.15. Entonces,
También,
Por tanto,
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v + w = QS . y u + (v + w) = PS
u + v = PR Y (u + v) + w = PS D'Vv'
u + (v + w) = (u + v) + w I
)
...: