Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

COORDENADAS; CAMBIO DE BASE 235
Como consecuencia, en el teorema 27 se afirma que una matriz de transición de una base
ortonorrnal a otra siempre es ortogonal.
El siguiente resultado, cuya demostración se analiza en los ejercicios, facilita averiguar
si una matriz A de n X n es ortogonal.
Teorema 28. Las proposiciones que siguen son equivalentes:
(a) A es ortogonal
(b) Los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal en Rn, con el producto
euclidiano interior
(e) Los vectores columna de A forman un conjunto orto normal en Rn, con el producto
euclidiano interior.
Ejemplo 67
Considérese la matriz
Los vectores renglón de A son
( 1 1 ) _ ' _(1 1 \
1 1
Ji Ji O
A= O O
1 1
Ji Ji
r¡ = Ji' Ji' O , r2 - (O, 0, 1), r3 - Ji' - Ji' O)
Con relación al producto euclidiano interior se tiene
y
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de modo que los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal en R 3 • Por tanto,
A es ortogonal y
O
1
Ji
1
O
Ji
A - 1 = Al = 1
Ji
1
O - -
Ji
O O