Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

'¡'ROPIEÓADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Teorema 1. Si r· V -+ W es una transformación lineal, entonces:
(a) T(O) = O
(b) T( - v) = - T(,;) para todos los ven V
(e) r(v - w) = T(v) - T(w) Para todos los v y wen V
Demostración. Sea v cualquier vector en V. Debido a que Ov= O, se tiene:
T(O) = T(Ov) = OT(v) = O
lci cual prueba (a).
También, T(-v) = T( (-l)v) = (-1) T(v) = -T(v), lo cual prueba (b).
Por últiino, v - w = v + (-1 )w; por tanto,
T(v - w) = T(v + (-1)w)
= T(v) + (-1)T(w)
= T(v) .- T(w) I
Defmición. Si T: V -+ W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en
V que T aplica hacia O se conoce como núcleo (kernel o espacio nulo) de T; este espacio
se denota por ker(J). El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de
al menos un vector en V se conoce como reco"ido de T; este conjunto se denota por R(J).
Ejemplo 12
Supóngase que T V -+ W es la transformación cero. Supuesto que T aplica: todo vector ha­
Cia O, ker(T) = V. Ya que O es la única imagen posible bajo T, R(T) consta del vector
cero.
Ejehlplo 13
Sea T:Rn -+ Rm la multiplicación por
El núcléo de T consta de todos los
que son vectores solución del sistema homogéneo
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