Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

180
ESPACIOS VECTORIALES
tiene únicamente la sulución tri vial. Obsérvese que los sistemas (4.4) y (4.6) tienen la misma
matriz de coeficiente. Así entonces, por los incisos (a) , (b) Y (d) del teorema 13 de la
sección l.7, es posible probar simultáneamente que S es linealmente independiente y que
genera a R 3 , demostrando que la matriz de coeficientes
de los sistemas (4.4) Y (4.6) es inversible. Puesto que
1 I
det(A) = 12
I
; 1
2 3
9 3
° 4!
por el teorema 6 de la sección 2.3, se concluye que A es inversible. Por consiguiente, S es
una base para R 3 .
Ejemplo 29
El conjunto S = {l, x, xZ , ... ,xn } es una base para el espacio vectorial P n que se introdujo
en el ejemplo 13. Por lo visto en el ejemplo 18, los vectores en S generan a P n . A fin
de ver que S es linealmente independiente, supóngase que alguna combinación lineal de
vectores en S es el vector cero, esto es,
- 1
Co + e 1x + ... + C"X" == O (4.7)
se debe demostrar que eo = el = ... = en = O. Con base en lo visto en el Algebra, un polinomio
diferente de cero de grado n tiene cuando más n raíoes distintas. Dado que (4.7)
es una identidad, todo valor de x es una raíz del primer miembro. Esto implica que el =e2
= ... = en = O; por otra parte, eo + el x + ... + enxn podría tener cuanqo más n raíces.
Por tanto, el conjunto S es linealmente independiente.
La base S de este ejemplo se conoce como base estándar para P n .
Ejemplo 30
Sean
http://libreria-universitaria.blogspot.com
M4 -[0 - 0J O l
El conjunto S = {MI, M z, M 3 , M4 } es una base para el espacio vectorial M 22 de matrices
de 2 X 2. A fin de ver que S genera a M Z2 , nótese que un vector (matriz) típico