Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

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Espacios vectoriales
4.1 ESPACIO EUCLIDIANO 11 DIMENSIONAL
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La idea de usar parejas de números para localizar puntos en el plano}' ternas para localizar
puntos en el espacio tridimensional se concibió por primera vez con claridad a mediados del
siglo XVII. A fines del siglo XIX, matemáticos y físicos empezaron a darse cuenta que no
era necesario quedarse en las ternas. Se reconoció que los conjuntos ordenados de cuatro
números (al , a2 , a3 , a4) se podían considerar como puntos en el espacio "tetradimensional",
los conjuntos ordenados de cinco números (a 1 , a2 , . . . , as) como puntos en el
espacio "pentadimensional", etc, Aun cuando la concepción geométrica no se extiende
más allá del espacio tridimensional, es posible extender muchas ideas conocidas más allá
de tal espacio, trabajando con propiedades analíticas o numéricas de puntos y vectores, en
lugar de las propiedades geométricas. En esta sección se precisan más estas ideas.
Definición. Si 11 es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n
números reales (al , a2, . .. , a,l ). El conjunto de todas las /loadas ordenadas se conoce como
espacio n dimensional y se denota por RIl.
Cuando 11 = 2, o bien. 3, es común usar los términos " pareja ordenada" y "terna ordenada",
en lugar de 2-ada y 3-ada ordenadas. Cuando 11 = 1, cada n-ada ordenada consta de un número
real y, por tanto, R I se puede concebir como el conjunto de los números reales.
Para este conjunto, es común escribir R en lugar de R I •
Es posible que el lector haya encontrado, en el estudio del espacio tridimensional,
que el símbolo (a \. a2. a3) tiene dos interpretaciones geométricas diferentes. Puede interpretarse
como un punto, en cuyo caso al , a2 Y 03 son las coordenadas (figura 4.10) o se
puede interpretar como un vector, en cüyo caso al, a2 ya3 son las componentes (figura
4. 1 b). Por tanto, se concluye que una ¡¡-ada ordenada (al, 02, ... , a n ) se puede concebir
como un "punto generalizado" o como un "vector generalizado" -desde el punto de vista
matemático, la distinción no tiene importancia. Por consiguiente, se tiene libertad de describir
la S-ada (-2. 4, O, 1, 6) como un punto en R S o como un vector en R S • Se hará uso
de ambas descripciones.
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