Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 259
y
lo cual completa la demostración . •
Ejemplo 14
T(b) = T(ka¡) = kT(a¡) = kw¡
Supóngase que T:Rn -+ R m es la multiplicación por una matriz A de m X n. Por lo visto
en el ejemplo 13, el núcleo de T consta de todas las soluciones de Ax = O; por tanto, el
núcleo es el espado de soluciones de este sistema. También, por lo visto en el ejemplo 13,
el recorrido de T consta de todos los vectores b tales que Ax = b es consistente. Por consiguiente,
por el teorema 14 de la sección 4.6, el recorrido de T es el espacio de columnas
de la matriz A.
Supóngase que { VI , V2, . .. , v n }es una base para un espacio vectorial Vy T: V-+
W es una transformación lineal. Si sucede que se conocen las imágenes de los vectores base,
esto es,
entonces se puede obtener la imagen T(v) de cualquier vector v, expresando primero v en
términos de la base, por ejemplo, .
y, a continuación, utilizando la relación {5.2) de la sección 5.1, para escribir
En pocas palabras, una transformación lineal está completamente determinada por sus
"valores" en una base.
Ejemplo 15
Considérese la base S = { VI, V2, V3 } para R 3 , donde VI = (1 , 1, 1), V2 = (1, 1, O), V3 =
(1, 0, O) Y sea T:R 3 -+ R 2 una transformación lineal tal que
T(v l ) = (1, O)
Encuéntrese T(2, -3, 5).
Solución. Exprésese primero V = (2, -3,5) como combinación lineal de VI =(1,1,1), V2
= (1, 1, O) Y V3 = (1, 0, O). Por tanto,
(2, - 3, 5) = k¡(I , 1, 1) + k 2(1, 1, O) + k 3(1, O, O)
o, al igualar las componentes correspondientes,
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