Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ) 141
de modo que
u x v = k x i = j = (O, 1, O)
Pero en las figuras 3.28b·y e se ve con claridad que el vector (O, 0,1) del sistemaxyz es el
mismo que el vector (0, 1, O) del sistema x'y' z'. Por tanto, se obtiene el mismo vector
u X v, sea que se calcule con coordenadas del sistema xyz o con las coordenadas del sistema
x'y'z'.
I ,
EJERCICIOS 3.4
1. Séan u = (2, - 1 1 3), v = (0,1,7) Y w = (1, 4, 5). Calcule:
a) v x w
d) (u x v) x (v x w)
b) u x (v. x w)
e) u x (v - 2w)
c)(u x v) X W
f) (u x v) - 2w
2. En cada inciso, halle un vector ortogonal tanto a u como a v.
a) u=(-7,3, 1) v = (2,0,4)
b) u=(-I, - 1, -1) v=(2, 0, 2)
3. En cada inciso, halle el área del triángulo que tiene los vértices p. Q y R.
a) P(1, 5, -2)
b) P(2,0, -3)
I
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Q(O, 0, O)
Q(I, 4,5) .
R(3, 5,1)
R(7, 2, 9)
4. Verifique el teoréma 4 para los vectores u = (l, - 5,6) Y v = (2, 1,2).
S Verifique el teorema 5 para u = (2, 0, - 1), v= (6, 7, 4), w = (1,1, l)y k = - 3.
6. ¿Qué es erróneo en la expresión u X v X w?
7 .. Sean u = (-1, 3, 2) Y w == (1, 1, - 1). Halle todos los vectores x que satisfagan
u X x = w.
8. Sean ti =(UI . U2. U3), v= (VI. V L • V3) Y w = (wI. W2. W3). Demuestre que P
LI) Uz
:'1
u' (v x w) = r ¡;2
) .1
w) W 2 \\' .1
9. Use el resultado del ejercicio 8 para calcular u' (v X w) cuando u = (- ·1, 4,7),
v = (6, - 7,3) Y w = (4, 0,1).
10. Sean m y n vectores cuyas componentes en el sistema xyz de la figura 3.28 son
m=(O,O, l)yn=(O, 1,0).
a) Halle las componentes de m y n en el sistema x'y'/ de la figura 3.28.
b) Calcule m X n utilizando las componentes en el sistema xyz.
f') Calcule m X n utilizando las componentes en el sistema x'y'z'.
d) Demuestre que los vectores que se obtuvieron en (b) y (e) son los mismos.