Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES 161
Por el axioma 5, el vector Ou tiene un negativo, -Ou. Al sumar este negativo a los dos miembros
de la expresión anterior se obtiene
o bien, ,
o bien,
o bien,
[Ou + OuJ + (-Ou) = Ou + ( - Ou)
I
Ou + [Ou + ( - Ou) ] = Ou + ( - Ou) (Axioma 3)
(Axioma 5)
Ou = O (Axioma 4)
(e) Para demostrar que (- l)u = - u, debe demostrarse que u + (-I)u = O. A fin de ver
que esto es cierto, obsérvese que I
EJERCICIOS 4.2
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u + ( - l )u = l u + ( - 1)u (Axioma 10)
= (1 + (-I))u (Axioma 8)
= Ou (Propiedad de los números)
= O (inciso a anterior)
En los ejercicios 1 al14 sa da un conjunto de objetos junto con las operaciones de adición y
multiplicación escalar. Determine cuáles de los conjuntos son espacios vectoriales bajo las
operaciones dadas. Para aquéllos que no lo son, liste todos los axiomas que no se cumplen.
1. El conjunto de todas las ternas de números reales (J; y, z) con las operaciones
(x, y, z) + (x', /, Z',) = (x + x', y + y ', z + Z') Y k(xy, z) = (kx, y, z).
2. El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z) con las operaciones
(x, y, z) + (x', .1" , z',) = (x + x', y + y', z + Z') Y k(x, y, z) = (0,0, O).
3. El conjunto 'de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones
(x, y ) + (x', .1") =(x +X', y + y') Y k(x, y) = (2ky; 2ky).
4. El conjunto de todos los números reales x con las operaciones estándar de adición
y multiplicación.
.J
5. El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, O) con las
operaciones estándar sobre R 2 .
6. El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, y), en donde
x ;;;. 0, con las operaciones estándar sobre R 2 .