Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

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COORDENADAS; CAMBIO DE BASE 246
3. (a) Sea A una matriz de m X n con los vectores renglón r1, r2, ... , rm , y B
una matriz de n X p con los vectores columna c 1, C2, ... , c p . Demuestre
que el elemento del renglón i y la co1umnaj de AB es el producto euclidiano
interior de ri Y Cj.
(b) Use el resultado de (a) para demostrar que si A es una matriz de n X n tal
que AA t = 1, entonces los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal
en Rn, con el producto euclidiano interior.
(c) Demuestre que si A es una matriz de n X n y AAt = 1, entonces los vectores
columna de A forman un conjunto ortonormal en Rn, con el producto euclidiano
interior [Sugerencia : Demuestre que AtA = 1 Y aplique el resultado
del inciso (b) a At.]
4. Sea Ax = O un sistema de m ecuaciones en n incógnitas. Demuestre que
x = [::J
x.
es una solución del sistema si y sólo si el vector x = (x 1, X2, ••. , Xh) es ortogonal
a todo vector renglón de A en el producto euclidiano interior sobre Rn
(Sugerencia: Aplique el resultado del ejercicio suplementario 3a.)
S. Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si al, a2,
... , a n son números reales P9sitivos, entonces
( 1 1 1)
(al + a 2 + ... + a.) - + - + ... + - ;?: n 2
Q 1 a2 Q.
6. Sea W el espacio generado por f = sen x y 11 = cos x.
(a) Demuestre que para cualquier valor de 8, f 1 = sen(x + 8) y 81 = cos(x + 8)
son vectores en W.
(b) Demuestre que f1 y 111 forman una base para W.
7, (a) Exprese (4d, a - b, a + 2b) como una combinación lineal de (4, 1, 1) Y
(O, - 1, 2).
(b) Exprese (3a + b + 3c. - a + 4b - c, 2a + b + 2c) como una combinaci6n línealde
(3,-1,2)y(l,4,1).
(e) Exprese (20 - b + 4e, 3a - e, 4b + e) como una combinación lineal de tres
vectores diferentes de cero.
8. (a) Exprese v = (1,1) como una combinación lineal de VI = (1, -1), V2 = (3,0),
V3 = (2, 1), de dos maneras diferentes.
(b) Demuestre que 4;;StO no viola el teorema 24.
9. Demuestre que si x y y son vectores en un espacio de productos interiores y c
es un escalar cualquiera, entonces
licx + yI1 2 = e 2 11xli2 + 2e < x, y > + IiYli 2
10. Suponga que R 3 tiene el producto euclidiano interior. Halle dos vectores de
longitud 1 que sean ortogonales a los tres vectores u I = (l, 1, -1), U2 = (-2, 1, 2)
YU3 = (-1,0, 1).