Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

164 ESPACIOS VECTORIALES
Ejemplo 11
Figura 4.4
En el ejemplo 5 de la sección 4.2 se demostró que todos los vectores en cualquier plano
que pase por el origen de R 3 forman un espacio vectorial; es decir, los planos que pasan
por el origen son subespacios de R 3 . También se puede probar este resultadp de manera
geométrica, aplicando el teorema 4.
Sea W cualquier plano que pasa por el origen y supóngase que u y v son vectores
cualesquiera en W. Entonces u + v debe estar en W porque es la diagonal del paralelogramo
determinado por u y v (figura 4.4), y ku debe estar en W, para cualquier escalar k,
porque ku está sobre una recta que contiene a u. Por tanto, W es un subespacio de R 3 •
OBSERVAClON. Puede aplicarse un argumento geométrico, como el de este ejemplo, pala
demostrar que las rectas que pasan por el origen son subespacios de R 3 . Es posible d\!mostrar
(ejercicio 20, sección 4.5) que los únicos subespacios de R 3 son : {O }, R 3 , las rectas
que pasan por el origen y los planos que pasan por el origen. También, los únicos subespacios
de R 2 son: {O }, R 2 Y las rectas que pasan por el origen.
Ejemplo 12
Demuéstrese que el conjunto W de todas las matrices de 2 X 2 que tienen ceros en la diagonal
principal es un subespacio del espacio vectorial M 22 de todas las matrices de 2 X 2.
Solución. Sean
[ O
A-
a 2 !
. [0
B - - b2 !
dos matrices cualesquiera en W y k un escalar cualquiera. Entonces
O
kA =
[
- ka 2 ,
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y A+B = [ a2! + ° b 2 !
Debido a que kA y A + B tienen ceros en la diagonal principal, están en W. Por consiguiente,
W es un sub espacio de M 21 .