Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

eaOROE'NAOAS;. CAMBIO DÉ BASE 225
Ejemplo 59
En el ejempló 28 de fa sección 4.5 se mostró que S = {v¡, V2 , "3 } es una base para R 3 ,
en donde V¡ =(1, 2,1), vz =(2, 9, O) Y V3 =(3, 3, 4).
(a) Encuéntrese el vector de coordenadas y la matriz de coordenadas de v = (5, - 1, 9)
con respecto a S.
(b) Encuéntrese el vector ven R 3 cuyo vector de coordenadas con respecto a S sea (v)s
=(-1,3,2).
Solución (a ). Es necesario encontrar los escalares e¡, e2 ' e3 tales que
o, en términos de componentes,
(5. - 1, 9) = (' ,(1, 2. l ) + c 2(2 , 9, O) + (' 3(3, 3, 4)
Al ígualar las componentes correspondientes se obtiene
(' , + 2('1 + 3('.\= 5
2e, + ge 2 + 3e3 = - 1
e, + 4e 3 = 9
Al resolver este sistema se obtiene e¡ = 1, e2 = 1, e3 = 2. Por tanto,
(v)s = (L - 1. 2) y
Solución b J. Aplicando la definición del vector de coordenadas (v)s ' se obtiene
v = ( - 1 )v, + 3"2 + 2v 3 = (11, 31, 7)
Los Vectores y las matrices de coordenadas dependen del orden en el que se escriban
los vectores base ; un cambio en el orden de los vectores base conduce a un cambio correspondiente
en el orden de los elementos de las matrices y los vectores de coordenadas.
Ejemplo 60
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Considérese la base S = {1, X, X2 } para P2 . Por simple observación, el vector y la matriz
de coordenadas con respecto a S, para un polinomio p = ao + a¡x + a2x2 , son
y
Llo]
[p]s = [ : :