Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

RESUL TADOS ADICIONALES ACERCA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 71
El teorema que sigue simplifica el problema de demostrar que una matriz es inversible.
Hasta ahora, para demostrar que una matriz A de n X n es inversible, era necesario
encontrar una matriz B de n X n tal que
AB= 1 y BA = 1
El teorema que sigue a continuación muestra que si se produce una matriz B de n X n que
satisfaga cualquiera de las dos condiciones que se dan, entonces la otra condici6n :;e cumple
automáticamente.
Teorema 12. Sea A una matriz cuadrada.
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a) Si B es una matriz cuadrada que satisface BA = 1, entonces B = A -1.
b) Si B es una matriz cuadrada que satisface AB = 1, entonces B = A -1
DemostraciólI. Se probará (a) y se dejará (b) como ejercicio.
a) Supóngase que BA = 1. Si es posible demostrar que A es inversible, se puede completar
la demostración al multiplicar los dos miembros de BA = 1 por A - 1 para
obtener
BAA - 1 = lA - 1 o BI= lA - 1 o B = A -1
para demostrar que A es inversible. basta con demostrar que el sistema AX = O tiene
únicamente la solución trivial (véase el teorema 10). Sin embargo, si se multiplican por
la izquierda ambos miembros de AX = O por B, se obtiene BAX = BO , o bien, IX = O,
o bien, X = O. Por tanto, el sistema de ecuaciones AX = O tiene solamente la solución
trivial. I
Ahora se está en condiciones de agregar una cuarta proposición que equivale a las
tres dadas en el teorema 10.
Teorema 13. Si A es una matriz de n X n, entonces las proposiciones que siguen son
equh'alelltes:
a) A es i/ll'ersible.
b) AX = O tielle únicamente la solución trivial.
e) A es equil'alente respecto a los renglones a In.
d) AX = B es consistente para toda matriz B de n X 1.
DemostraciólI. Puesto que se probó en el teorema 10 que (a), (b) Y (e) son equivalentes,
bastará con probar que (a) =* (d) Y (d) =* (a).
a) =* d): Si A es inversible y B es cualquier matriz de n Xl, entonces X = A - 1 B es una
solución de AX = B, según se afirma en el teorema 11. Por tanto, AX = B es consistente.
d) =* a): Si el sistema AX = B es consistente para toda matrizB de n Xl, entonces, en
particular. los sistemas