Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

INDEPENDENCIA LINEAL
z z z
y y
(a) lb) (e)
Figura 4.6 (a) Linealmente dependientes. (h) Linealmente dependientes. ( e) Linealmente
independientes.
Se deduce que dos vectores en R 2 o en R 3 son linealmente dependientes si y sólo si están
sobre la misma recta que pasa por el origen (figura 4.6).
Ejemplo 26
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Si VI, V2 Y V3 son tres vectores en R 3 , entonces el conjunto S = {VI, v 2 , V3 }es linealmen·
te dependiente si y sólo si los tres vectores están en el mismo plano que pasa por el origen,
cuando los vectores se colocan con los puntos iniciales en el origen (figura 4.7). Para esto,
recuérdese que VI, V2 Y V3 son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores
es_ una combinación lineal de los dos restantes o, lo que es equivalente, si y sólo si al
menos uno de los vectores está en el espacio generado por los dos restantes. Pero el espacio
generado por dos vectores cualesquiera en R 3 es una recta que pasa por el origen, un pIano
que pasa por el origen, o bien, el propio origen (ejercicio 17). En todo caso, el espacio
generado por dos vectores en R 3 siempre está en un plano que pasa por el origen.
Se concluye esta sección con un teorema que indica que un conjunto linealmente
independiente en Rn puede contener cuando más n vectores.
Teorema 6. Sea S = {VI, V2 , • .. , V r }un conjunto de vectores en R". Si r > n. entonces S
es linealmente dependiente.
( a ) lb) (e)
Figura 4.7 (a) Linealmente dependientes. (h) Linealmente dependientes. (e) Linealmente
independientes.
x
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