Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

262 TRANSFORMACIONES LINEALES
que VI, ... , Vy es una base para el núcleo. Debido a que {VI, ... ,V y }es linealmente independiente,
en el inciso (e) del teorema 9 que se da en el capítulo 4 se afirma que existen
n - r vectores, v r + 1" •• , V n' tales que {v l' ... , v" Vy+ l , .. . , V n} es unabase para V. Para
completar la demostración, se probará que los n - r vectores del conjunto S = {T( v y + I ), .. . ,
T(v )} fonnan una base para el recorrido de T Entonces se concluye que
n
dim(R(T)) + dim(ker(T)) = (n - r) + r = n
Primero se demostrará que S genera el recorrido de T. Si b es un vector cualquiera
en el recorrido de T, entonces b = T( v) para algún vector ven V. Ya que {VI, . . . , v y , v y +1 '
... , v n }es una base para V; v se puede describir en la forma
Debido a que VI, ... , v y están en el núcleo de T, T( VI) = ... == T(v y )== 0, de modo que
Por tanto, S genera el recorrido de T.
Por último, se demuestra que S es un conjunto linealmente independiente y, como
consecuencia, fonna una base para el recorrido de T Supóngase que alguna combinación
lineal de los vectores en S es cero, esto es,
Se debe demostrar que ky + I = ... == k n = O. Supuesto que T es lineal, es posible volver a
escribir (5.5) como
con lo cual se afirma que k v + ... + k v está en el núcleo de T Por tanto, se
r+l Y+l . n n
puede escribir este vector como una combinación lineal de los vectores base {VI, .. . ,vy por ejemplo,
Por consiguiente,
Supuesto que { VI, ... , v n } es linealmente independiente, todas las k son cero ; en particular,
k r + I == ... = k n = O, lo cual completa la dem ostración.,
EJERCICIOS 5.2
1. Sea T:R 2 -+ R 2 la multiplicación por
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[ 2 -1J
-8 4
(5.5)
}