Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

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INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS DEL ALGEBRA LINEAL
El sistema de ecuaciones correspondiente es
Xl + .25X2 + .25x3 = .375
X2 + .l26x3 = .937
X3 = - .5
Resolviendo por sustitución regresiva se obtiene (hasta tres dígitos significativos)
Xl = .250 X2 = 1.00 X3 = -.500 (8.3)
Si (8.2) se resuelve por eliminación gaussiana sin pivote, y capa cálculo se redondea
hasta tres dígitos significativos, se obtiene (se omiten los detalles)
Al comparar (8.3) y (8.4) con la solución exacta
Xl = .245 X2 = l.01 X3 = -.492 (8.4)
Xl = ± X2 = 1
se ve que el uso del pivote proporciona resultados más exactos.
A pesar del hecho de que la "Condensación pivotal puede reducir el efecto acumulado
del error por redondeo, existen ciertos sistemas de ecuaciones, denominados sistemas mal
condicionados, que son tan extremadamente sensibles que incluso los errores más ligeros
en los coeficientes pueden conducir a inexactitudes importantes en la solución. Por ejemplo,
considérese el sistema
X l + X2= -3
Xl + 1.016x2 = 5
Si se supone que se va a resolver este sistema en una computadora que redondea hasta tres
dígitos significativos la computadora almacena este sistema. como
X¡+ X2= -3
Xl + l.02X2 = 5
La soÍución exacta para (8.5) es X¡ = - 503, X2 = 500, Y la solución exacta para (8.6) es
Xl = - 403, X2 = 400. Por tanto , un error por redondeo de sólo .004 en uno de los coeficientes
de (8.5) conduce a un error importante en la solución.
Muy poco se puede hacer, desde el punto de vista de la computación, para evitar los
errores grandes en las soluciones de los sistemas lineales mal condicionados. Sin embargo,
en los problemas físicos, en donde se presentan los sistemas mal condicionados, a veces es
posible volver a plantear el problema que da lugar al sistema, a fin de evitar la situación de
mal condicionado. En· algunos de los textos que se mencionan al final de este capítulo se
explica cómo reconocer los sistemas mal condicionados.
EJERCICIOS 8.1
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1. Exprese lo siguiente en la torma normalizada con punto flotante.
(8.5)
(8.6)