Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ) 135
Ejemplo 11
Considérense los vectores
En el ejemplo lOse demostró que
Debido a que
y
}
u = (1, 2, -2) and v = (3, O, 1)
u x v = (2, -7, -6)
u . (u x v) = (1)(2) + (2)( - 7) + ( - 2)( - 6) = O
v . (u x v) = (3)(2) + (0)( - 7) + (1)( - 6) = O
u X ves ortogonal tanto a u como a v, como lo garantiza el teorema 4.
Las propiedades aritméticas principales del producto vectorial se listan en el teorema
siguiente:
Teorema 5. Si u, v y w son vectores cualesquiera en el espacio tridimensional y k es un escalar
cualquiera, entonces:
a) u x v = - (v x u)
b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)
d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)
e) u x O = O x u = O
j)u x u=O
Las demostraciones se deducen inmediatamente de la fórmula 3.5 y de las propiedades de los
determinantes; por ejemplo, (a) se puede probar como sigue:
Demostración. (a) Al intercambiar u y v en (3.5) se intercambian los renglones de los tres
determinantes del segundo miembro de (3.5) y, en consecuencia, se cambia el signo de
cada componente del producto vectorial. Por tanto, u X v = - (v X u). I
Las demostraciones de los incisos restarrtes se dejan como ejercicios.
Ejemplo 12
Considérense los vectores
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i = (1, O. O) j = (0, 1, O) k = (O, 0, 1)
Cada uno de estos vectores tienen longitud 1 y están a lo largo de los ejes de coordenadas
(figura 3.23); éstos se conocen como vectores unitarios estándar del espacio tridimensional.
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