Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton
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REGLAS DE LA ARITMETICA MATRICIAL 53<br />
A pesar de estos ejemplos negativos, cierto número de propiedades conocidas<br />
del número re<strong>al</strong> O se llevan hacia las matrices cero. En el teorema que sigue se resumen<br />
<strong>al</strong>gunas de las más importantes; las demostraciones se dejan como ejercicios.<br />
Teorema 3. Suponiendo que los tamaños de las matrices son t<strong>al</strong>es que se pueden efectuar<br />
las operaciones indicadas, las siguientes reglas de la aritmética matrici<strong>al</strong> son válidas.<br />
(a) A + O = O + A = A<br />
(h) A - A = O<br />
(e) O-A=-A<br />
(d) AO = O: OA = O<br />
http://libreria-universitaria.blogspot.com<br />
Como aplicación de estos resultados de la aritmética matrici<strong>al</strong>, se probará el teorema<br />
que sigue, el cu<strong>al</strong> se anticipó con anterioridad en el texto.<br />
Teorema 4. Todo sistema de ecuaciones linru/es no tiene soluciones, tiene exactamente<br />
una solución, o bien, una infinidad de soluciones.<br />
Demostración. Si AX = B es un sistema de ecuaciones line<strong>al</strong>es, exactamente una de las<br />
siguientes afirmaciones es verdadera: (a) el sistema no tiene soluciones, (b) !'JI sistema tiene<br />
exactamente una solución, o bien, (e) el sistema tiene más de una solución. Se completa<br />
la demostración si se puede probar que el sistema tiene una infinidad de soluciones en el<br />
caso (e).<br />
Supóngase que AX = B tiene más de una solución y que Xl y Xl son dos soluciones<br />
diferentes. Por tanto, AX I = By AX 2 = B. Al restar estas ecuaciones daAX I - AX2<br />
= O, o bien, A(X¡ - X 2 ) = O. Si se hace que Xo = Xl - X 2 y k es cu<strong>al</strong>quier esc<strong>al</strong>ar,<br />
entonces<br />
A(.\'I + /':.\'0) = AX 1 + A(/.:X o)<br />
= A.\'I + /.:(AX o)<br />
= 8 + kO<br />
= 8 + ()<br />
=8<br />
Pero con esto se afirma que X ¡ + k X o es una solución de AX = B. Ya que existe una infinidad<br />
de v<strong>al</strong>ores que puede tomar k, AX = B tiene una infinidad de soluciones . •<br />
En especi<strong>al</strong> interesantes son las matrices cuadradas que tienen puros 1 en la diagon<strong>al</strong><br />
princip<strong>al</strong> y O en todas las demás posiciones, t<strong>al</strong>es como<br />
[ 1 O O]<br />
1 O O<br />
O 1 O O 01<br />
O 1 O,<br />
O O 1 O'<br />
O O 1 [<br />
O O O 1<br />
Una matriz de este tipo se denomina matriz identidad y se denota por l. Si es importante<br />
hacer hincapié en el tamaño, se escribe In para la matriz identidad de n X n.<br />
etc.
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