Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

298 TRANSFORMACIONES LINEALES
EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS
1. Sea A una matriz de n X n, B una matriz diferente de cero de n X 1 Y x un vector
en R n , expresado en notación matricial. ¿Es T(x) = A x + B un operador
lineal sobre Rn? Justifique su respuesta.
2. Sea
a) Demuestre que
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A 2 = [cos 2e
sen 20
cos e
A-
[ sen e
- sen 20]
cos 20
y
- sen e]
cos e
A 3 = [ cos 30
sen 30
,- sen 3e]
cos 30
b) dé una suposición lógica de la forma de la matriz A n para cualquier entero
positivo n.
e) Considerandó el efecto geométrico de T:R 2 -+ R 2 , en donde T es la multiplicación
por A , obtenga geométricamente el resultado que sé obtuvo en (b).
3. Sea Vo un vector fijo en un espacio de productos interiores V y suponga que
T: V -+ V se define por medio de T(v) = ( v, Vo ) vo . Demuestre que T es un
operador lineal sobre V.
4. Sean VI , V2, .•. , v m vectores fijos en R n y suponga que T:Rn -+ Rm se define
por medio de T(x) = ( x . VI, X' V2, . . . , x' v m ), en donde X' vi es el producto
euclidiano interior sobre Rn.
a) Demuestre que T es una transformación lineal.
b) Demuestre que la matriz con los vectores renglón VI, V2, . .. , v m es la matriz
estándar para T.
5. Sea T: R 4 -+ R 3 la transformación lineal para la que
T(e,) = (1 , 2, 1),
. T(e 3 ) = (l , 3, O),
T(ez) = (0, 1, O)
T (e 4 ) = (1, 1, 1)
a) Halle las bases para el recorrido y el núcleo de T.
b) Halle el rango y la nulidad de T.
6. Sea A x = O un sistema lineal homogéneo con n incógnitas y suponga que r es el
rango de A. Halle la dimensión del espacio de soluciones si :
(aJ n = 5, r = 3 (b) n = 4. r = 4
7. a) Sea 1 la recta en el plano xy que pasa por el origen y forma un ángulo e con
el eje x positivo; y sea Po (xo, Yo) la proyección ortogonal de un punto P(x,
y ).sobre 1 (vea la figura a continuación).