Introducción al Álgebra Lineal – 3ra Edición – Howard Anton

APROXIMACION OE LOS EIGENVALORES POR EL METOCO CE LAS POTENCIAS 379
ponentes se encuentren entre +'1 y - l. Es posible lograr esto, multiplicand0 el eigenvector
aproximado por el recíproco de la C9mponente que tenga el valor absoluto más grande.
Como ilustración, en el primer paso del ejemplo 7, la aproximación al eige'nvector dominante
es
La componente con el mayor valor absoluto es 5; por tanto el eigenvector reducido es
A continuación se resumen los pasos del método de las potenoias con reducción a
escala.
Paso O. Se selecciona un vector arbitrario diferente de cero, Xo .
Paso 1. Se calcula Axo y reduce a fin de obtener la primera aproximación para un eigenvector
dominante. Se nombra como Xl .
Paso 2. Se calcula Ax¡ y se reduce para obtener la segunda aproximación, X2 .
Paso 3. Se calcula AX2 y se reduce para obtener la tercera aproximación, X3 .
Continuando de esta manera, se obtiene una sucesión, Xo, Xl, X2, . .. ,de aproximaciones
cada vez mejores para un eigenvector dominante .
Ejemplo 9
Usese el método de las potencias con reducción a escala para obtener una aproximación
de un eigenvector dominante y el eigenvalor dominante de la matriz A que se da en el
ejemplo 7.
Solución. Selecciónese arbitrariamente
como una aproximación inicial. Multiplicando Xo por A y reduciendo a escala se obtiene .
Multiplicando Xl por A y reduciendo a escala da
[ 3 2J [ 1 J [ 2.6J 1 [2.6J [ 1 J
- 1 O - .2 - 1 x2 = 26 - 1 = - .3X5
Ax¡ = =
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