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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 19
Exercice 104 [ 02563 ] [correction]
I) Tracer la courbe paramétrée définie par
⎧
⎪⎨ x(t) =
⎪⎩
t − 1
t
y(t) = t2
t + 1
II) Pour A et B fixées dans Mn(R), résoudre dans Mn(R) l’équation
X = tr(X)A + B.
Exercice 105 [ 02564 ] [correction]
I) On considère la matrice
⎛
A = ⎝
1 1 a
0 2 0
0 0 a
où a est un nombre réel.
a) Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?
b) A est-elle diagonalisable ?
II) Dessiner
D = (x, y) ∈ R 2 , x 0, 1 xy 2, 1 x 2 − y 2 4
Montrer que φ(x, y) = (xy, x 2 − y 2 ) est un C 1 difféomorphisme sur ]0, +∞[ 2 .
Expliciter φ(D).
Calculer
I =
Etudier les extrema de f.
D
⎞
⎠
f(x, y) dx dy où f(x, y) = xy(x2 + y 2 )
x 2 − y 2
Exercice 106 [ 02565 ] [correction]
Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R.
a) Démontrez que :
b
a
h(x) dx = 0 ⇒ h = 0
b) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b] dans R. On pose
pour tout f et tout g de E
(f | g) =
b
a
f(x)g(x) dx
Démontrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
c) Majorez
1 √ −x
xe dx
en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
II) Trouver le rayon de convergence de
0
n1
Calculer la somme dans le bon intervalle.
shn
n(n + 1) xn
Exercice 107 [ 02566 ] [correction]
I) a) Donnez l’idée de la démonstration de la formule de Leibniz concernant la
dérivée n-ième d’un produit de fonctions.
b) On pose
f(x) = e2x
1 + x
pour x > −1
Calculer f (n) (x) pour tout n ∈ N.
II) La forme différentielle ω(x, y) = x 2 dy + y 2 dx est-elle fermée ? Exacte ?
Donner l’ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct) le long
desquels ω est nulle ?
Exercice 108 [ 02567 ] [correction]
I) On pose
f(x, y) =
xy
x 2 + y 2
pour (x, y) = (0, 0) et f(0, 0) = 0
a) Démontrez que f est continue sur R 2 .
b) Démontrez que f admet des dérivées partielles en tout point de R 2 .
II) Etudier et dessiner l’arc paramétré
x(t) = cos 2 t + ln(sin t)
y(t) = cos t sin t
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