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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 89
b) Le polynôme X3 + 2X2 − X − 2 est annulateur de f et 0 n’en est pas racine
donc 0 /∈ Spf. Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon,
on exploite
1
f ◦
2 (f 2
1
+ 2f − Id) =
2 (f 2
+ 2f − Id) ◦ f = Id
pour conclure.
II) a) Pour f ∈ E,
donc
|u(f)(x)|
x
0
1
v(f)1
0
t f ∞ dt = 1
2 x2 f ∞
1
2 x2 f ∞ dx = 1
6 f ∞
On en déduit que l’application linéaire v est continue et
En prenant f = ˜1, on a
On en déduit v = 1/6.
b) Pour f ∈ E,
donc
v 1/6
f ∞ = 1, u(f) : x ↦→ 1
2 x2 et v(f) 1 = 1/6
|u(f)(x)| =
x
0
t |f(t)| dt
x
0
|f(t)| dt f 1
w(f)∞ = sup |u(f)(x)| f1 x∈[0,1]
On en déduit que l’application linéaire w est continue et w 1.
Pour fn(t) = t n , on a
Puisque
fn 1 = 1/(n + 1), u(fn)(x) = 1
n + 2 xn+2 et w(fn) ∞ = 1
n + 2
on obtient w = 1.
w(fn) ∞
fn 1
= n + 1
→ 1
n + 2
Exercice 149 : [énoncé]
I) a) La fonction intégrée est définie et continue sur [0, +∞[ et dominée par
t ↦→ 1/t 2 en +∞.
b) Pour tout t ∈ [0, +∞[,
donc en intégrant
1
(1 + t2
) n+1
1
(1 + t 2 ) n
(−1) n+1 In+1 (−1) n In
La suite des fonctions intégrées converge simplement vers la fonction nulle sur
]0, +∞[ et est dominée par
t ↦→ 1
1 + t 2
intégrable sur ]0, +∞[ donc par convergence dominée
(−1) n In → 0
c) Par application du critère spécial des séries alternées, on peut affirmer la
convergence de la série In.
II) a) Evidemment ker f ⊂ ker(g ◦ f) et Im(g ◦ f) ⊂ Img.
Pour x ∈ ker(g ◦ f), on a f(x) = f(g(f(x)) = f(0) = 0 donc x ∈ ker f.
Pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors
y = g(f(g(x)) = g(f(a)) ∈ Im(g ◦ f).
b) Si x ∈ ker f ∩ Img alors on peut écrire x = g(a) et puisque f(x) = 0,
a = f(g(a)) = 0 donc x = 0.
Pour x ∈ E, on peut écrire x = (x − g(f(x))) + g(f(x)) avec x − g(f(x)) ∈ ker f et
g(f(x)) ∈ Img.
c) Si f est inversible alors f ◦ g = Id entraîne g = f −1 .
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
d) (g ◦ f) ◦ (g ◦ f) = g ◦ (f ◦ g) ◦ f = g ◦ f et donc g ◦ f est un projecteur.
Exercice 150 : [énoncé]
I) a) Les applications φ et ψ sont linéaires au départ d’un espace de dimension
finie donc continues.
b) L’application f est bilinéaire au départ d’un produit d’espaces de dimensions
finies donc continue.
c) Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé
AX = λX avec X = 0
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