[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 64
Puisque la suite (Tn) converge, elle vérifie le critère de Cauchy et donc
et alors
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N, ∀p ∈ N, |Tn+p − Tn| ε
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N, ∀p ∈ N, Sn+p − Sn ε
La suite (Sn) est donc de Cauchy et l’espace normé étant supposé complet, celle-ci
converge.
b) N’importe quel R-espace vectoriel ou C-espace vectoriel de dimension finie est
complet.
II) On écrit z = e iθ avec θ ∈ R.
u = 1 + z + z 2 = e iθ (e −iθ + 1 + e iθ ) = (2 cos θ + 1)e iθ
La courbe décrite est celle d’équation polaire r = 1 + 2 cos θ qu’il est facile
d’étudier.
Exercice 92 : [énoncé]
I) a) Soit H une primitive de la fonction h, celle-ci existe car h est continue.
Puisque la fonction h est positive, la primitive H est croissante.
Si l’intégrale de h sur [a, b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H
entraîne sa constance. On en déduit que la fonction dérivée h est nulle.
b) On vérifier que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique définie
positive.
c) On a
1
√ 1 1
−x
xe dx x dx e−2x √
1 − e−2 dx =
2
an+1
an
0
II) Par intégration par parties successives
1
an = t
0
n (1 − t) n dt = (n!)2
(2n + 1)!
Puisque → 1 on a R = 4.
4
Pour |x| < 4, par convergence normale
1
dt
f(x) =
1 − t(1 − t)x =
1
dt
0 xt2 − xt + 1
Si x ∈ ]0, 4[,
0
f(x) =
0
4
x
arctan
x(4 − x) 4 − x
0
Si x ∈ ]−2, 0[,
Si x = 0, f(x) = 1.
f(x) =
4
x
argth
x(x − 4) x − 4
Exercice 93 : [énoncé]
ln x
I) a) f : x ↦→ x2 +1 est définie et continue par morceaux sur ]0, +∞[.
Les propriétés x3/2f(x) −−−−−→
x→+∞ 0 et √ xf(x) −−−→ 0 assurent l’intégrabilité de f.
x→0
b) g : x ↦→ e−x √ est définie continue par morceaux sur ]1, +∞[.
x−1
Les propriétés x 2 f(x) −−−−−→
x→+∞
0 et g(x) ∼
x→1
e −1
√ x−1 assurent l’intégrabilité de g.
II) a) Pour tout vecteur x de E,
(x | f(λy + µz)) = −(f(x) | λy + µz) = −λ(f(x) | y) − µ(f(x) | z).
Ainsi (x | f(λy + µz)) = (x | λf(y) + µf(z)). Or ceci valant pour tout x, on peut
affirmer la linéarité de f.
Notons A = (ai,j) la matrice de f dans la base canonique (e1, . . . , en) de R n .
On a ai,j = (ei | f(ej)) car la base canonique est orthonormée. L’antisymétrie de
f donne alors ai,j = −aj,i.
b) Les endomorphismes antisymétriques sont par représentation matricielle en
correspondance avec les matrices antisymétriques. Par cet isomorphisme, les
endomorphismes antisymétriques forment un sous-espace vectoriel de dimension
.
n(n−1)
2
Exercice 94 : [énoncé]
I) Notons an, bn et cn les coefficients de 1, X et X2 dans Pn.
Puisque P1 = X − 2, on a a1 = −2, b1 = 1 et c1 = 0.
Puisque Pn+1 = P 2 n − 2, on a an+1 = a2 n − 2, bn+1 = 2anbn et cn+1 = b2 n + 2ancn.
On en déduit a2 = 2, b2 = −4 et c2 = 1 puis pour n 3 : an = 2, bn = −4n−1 ,
cn = 4n−2 + 4n−1 + · · · + 42n−4 = 4n−2 4n−1−1 .
II) f est C 1 par morceaux et régularisée donc sa série de Fourier converge vers elle.
f est impaire, an = 0, bn = 2
π
f(t) = 2 +∞
n=1
(−1) n+1
n
sin(nt).
Exercice 95 : [énoncé]
I) En polaire
D
1
x2 +y2 +1dxdy = 1
0
3
π
0 t sin(nt)dt = (−1)n+12 n
2π
0
rdθdr
r 2 +1
= π ln 2.
puis
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