[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 45
On a
On en déduit
f(M) =
a + 2c b + 2d
2a + 4c 2b + 4d
2 0
ker f = Vect
−1 0
0 2
,
0 −1
b) L’endomorphisme ne peut-être surjectif car en dimension finie, un
endomorphisme surjectif est bijectif et dans ce cas son noyau est réduit à
l’élément nul.
c) On forme une base du noyau à l’aide des matrices
2 0
−1 0
et
0 2
0 −1
Par la formule du rang, rgf = 2. On forme alors une base de l’image par les
matrices
1
f(E1,1) =
2
0
0
0
et f(E2,2) =
0
2
4
II) a) Soit F une primitive de la fonction continue f. On a
g(x) = 1
(F (x) − F (0)) −−−−→
x x→0 + F ′ (0) = f(0)
Ainsi on peut prolonger g par continuité en 0 en posant g(0) = f(0).
b) Soit F une primitive de f (il en existe car f est continue).
On a
g(x) = 1
(F (x) − F (0))
x
On en déduit que g est dérivable sur R +⋆ et
c) Par intégration par parties
donc b
g ′ (x) = − 1
f(x) f(x) − g(x)
(F (x) − F (0)) + =
x2 x x
a
b
puis la relation proposée.
a
g 2 (t) dt = tg 2 (t) b − 2 a
g 2 (t) dt = tg 2 (t) b − 2 a
b
a
b
a
tg ′ (t)g(t) dt
(f(t) − g(t)) g(t) dt
On en déduit par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
b
g 2
b
(t) dt 2 f 2
b
(t) dt
puis
a
b
a
a
a
g 2 (t) dt + ag 2 (a)
g 2
b
(t) dt − 2 f 2
b
(t) dt g2 (t) dt ag 2 (a)
en ajoutant un même terme de part et d’autre
⎛
b
⎝ g2
b
(t) dt − f 2 ⎞
(t) dt⎠
a
a
a
2
a
ag 2 (a) +
b
a
f 2 (t) dt
puis par la croissance de la fonction racine carrée
b
g
a
2
b
(t) dt− f
a
2
b
(t) dt
g
a
2
b
(t) dt − f
a
2
(t) dt
ag2 (a) +
et enfin
b
g2 (t) dt
a
b
f 2
(t) dt+ ag2 (a) +
0
b
d) En faisant tendre a vers 0, on obtient
b
g2
+∞
(t) dt 2
0
0
b
a
f 2 (t) dt
f 2
+∞
(t) dt f 2
(t) dt+ ag2 +∞
(a) +
0
f 2 (t) dt
et on en déduit que la fonction g 2 est intégrable sur R + car les intégrales de g 2 sur
les segments inclus dans R + sont majorées.
Exercice 36 : [énoncé]
I) a) La fonction est définie sur la réunion des intervalles , .
Puisque , il y a une symétrie de centre .
Puisque , il y a une symétrie d’axe (et donc aussi d’axe ).
Au final, on peut réduire l’étude à .
b) La fonction décroît de 2 à sur .
Puisque , la tangente est orthoradiale en 0.
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