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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 17
où D est le disque unité du plan.
II) Soit u un automorphisme orthogonal de E euclidien et v = u − Id.
a) Montrer que ker v = (Imv) ⊥ .
b) Soit
un = 1
n−1
u
n
k
Montrer que (un(x)) converge, pour tout vecteur x, vers le projeté orthogonal de
x sur ker v.
Exercice 96 [ 02555 ] [correction]
I) a) Démontrez que si |an| ∼ |bn| alors les séries entières anz n et bnz n ont le
même rayon de convergence.
b) Trouvez le rayon de convergence de la série entière
k=0
i n n 2
(n 2 + 1) zn
II) On considère l’espace vectoriel R n muni de son produit scalaire usuel noté
〈. | .〉. Soit f un endomorphisme symétrique de R n dont toutes les valeurs propres
sont strictement positives.
a) Montrer que
∀x ∈ R n \ {0} , 〈f(x) | x〉 > 0
b) Soit u un vecteur de R n et g : R n → R l’application définie par
g(x) = 1
〈f(x) | x〉 − 〈u | x〉
2
Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de R n et les
expliciter.
c) Montrer que g admet un unique point critique noté z.
d) Montrer que g admet un minimum global en z.
Exercice 97 [ 02556 ] [correction]
I) a) Démontrez que siA et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA
ont même trace.
b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, A k et B k ont
même trace.
II) Pour x > 0, on pose
1
ln t
F (x) =
t + x dt
Montrer que F est de classe C 1 sur ]0, +∞[.
Calculer F ′ (x) et en déduire l’expression de
0
G(x) = F (x) + F (1/x)
Soit θ ∈ R. Calculer 1
t − 1 ln t
t + 1 t2 + 2tch(θ) + 1 dt
0
Exercice 98 [ 02557 ] [correction]
I) On définit dans M2(R) × M2(R) l’application ϕ(A, A ′ ) = tr( tAA ′ )
On note
F =
a b
−b a
/(a, b) ∈ R 2
On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2(R).
a) Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2(R).
b) Déterminez une base orthonormée de F ⊥ .
d) Déterminez le projeté orthogonal de
1 1
J =
1 1
sur F ⊥ .
II) Domaine de définition de
Montrer que
1
B(x, y) = u x−1 (1 − u) y−1 +∞
du et de Γ(x) =
0
+∞
∀x ∈ ]0, +∞[ , Γ(x) = 2
Ecrire Γ(x)Γ(y) sous forme d’une intégrale double.
A l’aide des coordonnées polaires, montrer que
B(x, y) = Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
0
0
u 2x−1 e −u2
du
u x−1 e −u du
Montrer que ∀x ∈ R ⋆ +, Γ(x + 1) = xΓ(x) et en déduire B(m, n) pour m, n ∈ N ⋆ .
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