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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 90
On a alors
donc
A n X = λ n X
|λ n | X ∞ = A n X p A n X ∞
avec X ∞ = max
1jp |xj| = 0.
On en déduit que la suite (λ n ) est bornée et donc |λ| 1.
d) B n → C donc par extraction B 2n → C. Or B 2n = B n × B n → C 2 donc par
unicité de la limite C = C 2 . On en déduit que SpC ⊂ {0, 1} car les valeurs propres
figurent parmi les racines du polynôme annulateur X 2 − X.
Puisque la suite (B n ) converge, elle est bornée et donc les valeurs propres de B
sont de modules inférieurs à 1.
II) a) Soit Γ un cercle passant par F ′ , tangent à C , M son centre et R son rayon.
Notons P le point de contact de C et Γ.
Puisque Γ passe par F ′ intérieur à C, le cercle Γ est aussi intérieur à C.
Par suite les points F , M et P sont alignés dans cet ordre.
Puisque MP = R = MF ′ et MF + MP = F P = 2a on a
MF + MF ′ = r
Inversement, un point M de l’ellipse défini par MF + MF ′ = r est le centre du
cercle Γ de rayon R = MF ′ qui est tangent à C et passe par F ′ .
b) Cette fois-ci Γ est à l’extérieur du cercle et les points F , M et P sont alignés
dans l’ordre F , P , M ou M, F , P . On a alors resp. MF − MF ′ = r ou
MF ′ − MF = r d’où
|MF − MF ′ | = r
Inversement, un point de l’hyperbole déterminée par |MF − MF ′ | = r est le
centre du cercle Γ de rayon R = MF ′ qui est tangent à C et passe par F ′ .
Exercice 151 : [énoncé]
I) Les fonctions et sont définies et de classe sur , et .
Il n’y a pas de réduction remarquable du domaine d’étude.
On obtient le tableau des variations simultanées suivant
Branches infinies :
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à droite.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à gauche.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à gauche.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à droite.
Puisque,
la courbe étudiée est aussi le graphe de la fonction
plot([(u-1)/u,uˆ2/(u-1),u=-5..5],view=[-3..3,-2..6],numpoints=200) ;
La courbe donnée par et II) a) Considérons
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Quand , et quand ,
Puisque se prolonge par continuité en et en 1, est intégrable sur .
Puisque
la fonction est elle aussi intégrable sur .
b) La suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle et est dominée
par la fonction intégrable donc par convergence dominée
c) On a
A l’aide d’une intégration par parties justifiée par deux convergences
et donc
puis par translation d’indice
Exercice 152 : [énoncé]
I) a) La matrice A annule le polynôme X p − 1 qui est scindé simple dans C [X]
donc A est diagonalisable dans M2(C).
b) Les valeurs propres α et β sont racines du polynôme annulateur donc
α p = β p = 1. En particulier |α| = |β| = 1.
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