[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 78
Exercice 122 : [énoncé]
I) En indexant les matrices à partir de 0 et non de 1, le coefficient d’indice
(i, j) ∈ {0, . . . n} 2 de la matrice cherchée est 0 si i j et (−1) j−i+1
j
sinon.
i
On en déduit
rgΦ = n
On en déduit aussi
ImΦ = Rn−1 [X]
par exemple, par inclusion et égalité des dimensions.
Par la formule du rang dim ker Φ = 1 et puisque les polynômes constants sont
éléments du noyau de φ, on peut conclure que
II) a) La fonction t ↦→
ker Φ = R0 [X]
1
(1+t x ) n est définie et continue par morceaux sur ]0, +∞[.
Cas x < 0 :
1
(1+tx ) n −−−−→ 1 donc la fonction n’est pas intégrable.
t→+∞
Cas x = 0 :
1
(1+t x ) n −−−−→
t→+∞
1
2 . Même conclusion.
Cas x > 0 :
Quand t → 0 + ,
intégrable sur ]0, +∞[ si, et seulement si, nx > 1.
b) Pour t > 0, on remarque que
1
(1+tx ) n 1
→ 1 et quand t → +∞, (1+tx ) n ∼ 1
tnx donc la fonction est
+∞
n=1
1
(1 + tx 1
=
) n tx Par l’absurde, si In(x)converge, on peut appliquer un théorème d’interversion
somme et intégrale assurant que t ↦→ 1
tx est intégrable sur ]0, +∞[. C’est absurde.
On conclut que In(x) diverge.
Par intégration par parties avec deux convergences
+∞
dt
In(2) =
(1 + t2
t
=
) n (1 + t2 ) n
+∞
Or
donc
0
0
+∞
+
0
+∞
In(2) − In+1(2) =
In+1(2) =
0
2n − 1
2n In(2)
2nt2 (1 + t2 +∞
dt = 2n
) n+1
0
t 2 dt
(1 + t 2 ) n+1
t 2
(1 + t 2 )
On en déduit
In+1(2) = (2n)!
(2nn!) 2
π
2
car I1(2) = π/2.
Notons que par le changement de variable t = tan u, on pouvait aussi transformer
In(2) en une intégrale de Wallis.
Exercice 123 : [énoncé]
I) a) Soit fn une série de fonctions normalement convergente sur X.
Les fonctions fn sont donc bornées et la série numérique
fn ∞ converge
Pour x ∈ X, on a
|fn(x)| fn∞ donc par comparaison de série à termes positifs, la série fn(x) est absolument
convergente et donc convergente.
Ainsi la série de fonctions fn converge simplement sur X.
De plus, pour tout x ∈ X,
+∞
fk(x)
+∞
+∞
|fk(x)| fk∞ donc
k=n+1
sup
x∈X
+∞
k=n+1
k=n+1
fk(x)
+∞
k=n+1
k=n+1
fk ∞ → 0
et l’on peut affirmer que la série de fonctions
dt n+1 fn converge uniformément sur X.
b) La série entière n 3
n! zn a un rayon de convergence égal à +∞, cette série
entière converge donc normalement sur tout compact de C. En particulier, cette
série entière converge uniformément sur tout disque de centre O et de rayon R.
II) Par développement d’un déterminant tridiagonal, Dn = (a + b)Dn−1 − abDn−2.
La suite (Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2 − (a + b)r + ab = 0 de racines a et b.
Si a = b alors on peut écrire Dn = λan + µbn et compte tenu des valeurs initiales,
on obtient
Dn = an+1 − bn+1 a − b
Si a = b alors on peut écrire Dn = (λn + µ)an et on parvient cette fois-ci à
Dn = (n + 1)a n
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD